Cómo demostrar que [matemáticas] 3 ^ {n ^ 2}> (n!) ^ 4 [/ matemáticas] para cualquier entero positivo n

Answer 1

Esta pregunta ha cambiado!

¿Cómo puedo probar [matemáticas] 3 ^ {n ^ 2}> (n!) ^ 4 [/ matemáticas] para cualquier entero positivo n?

Para enteros positivos, [matemáticas] n! \ leq n ^ n [/ math]

Es suficiente (para lo suficientemente grande [matemática] n [/ matemática]) para mostrar

[matemáticas] 3 ^ n> n ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] n \ geq 8 [/ matemáticas] es suficiente.

Eso deja [matemáticas] n <8 [/ matemáticas] para mostrar. Ejercicio para el lector …

Pregunta original

¿Cómo puedo probar 3 ^ n ^ 2 = (n!) ^ 4

Asumiré que [math] n [/ math] debería ser un número entero. Claramente, el lado derecho no está firmado para negativo [matemáticas] n [/ matemáticas], por lo que está excluido.

Incluso para las [matemáticas] n [/ matemáticas] no negativas, no es cierto en general, y de hecho (dado que el lado izquierdo no tiene factores primos excepto 3) casi nunca es cierto. Si [math] n \ geq 2 [/ math], el lado derecho debe dividirse por [math] 2 ^ 4 [/ math].

Eso deja [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas], cuando el lado izquierdo se divide por [matemáticas] 3 [/ matemáticas] y no el lado derecho, y [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas].

Si el lado izquierdo, la mano es [matemática] 3 ^ {n ^ 2} [/ matemática] (como lo prefiero, notationally) o [matemática] (3 ^ n) ^ 2 [/ matemática] no hace diferencia aquí; el lado izquierdo es solo [matemáticas] 1 [/ matemáticas], al igual que el lado derecho.

El único entero [matemático] n [/ matemático] que satisface la ecuación es [matemático] 0 [/ matemático].

Answer 2

Queremos demostrar que [math] 3 ^ {n ^ 2}> (n!) ^ 4 \, \, \ forall \, \, n \ in \ mathbb {N}. [/ Math]

Lema: La proposición P: [matemáticas] 3 ^ {2k + 1}> (k + 1) ^ 4 \, \, \ forall \, \, k \ in \ mathbb {N} [/ matemáticas] es cierta.

Prueba del lema:

Para [matemáticas] k = 1, LHS = 3 ^ {2k + 1} = 3 ^ 3 = 27> 2 ^ 4 = (k + 1) ^ 4 = RHS. [/ Matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] La proposición P es verdadera para [math] k = 1 [/ math].

Suponga que la proposición es verdadera para [math] k = m [/ math].

[math] \ Rightarrow \ qquad 3 ^ {2m + 1}> (m + 1) ^ 4. [/ math]

Ahora, para [matemáticas] k = m + 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 3 ^ {2k + 1} = 3 ^ {2m + 3} = 3 ^ {2m + 1 + 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 9 \ cdot 3 ^ {2m + 1}> 9 (m + 1) ^ 4 = 9 (m ^ 4 + 4m ^ 3 + 6m ^ 2 + 4m + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 9m ^ 4 + 36m ^ 3 + 54m ^ 2 + 36m + 9 = (m ^ 4 + 8m ^ 3 + 24m ^ 2 + 32m + 16) + (8m ^ 4 + 28m ^ 3 + 30m ^ 2 + 4m-7) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (m + 2) ^ 4 + (8m ^ 4 + 28m ^ 3 + 30m ^ 2 + 4m-7)> (m + 2) ^ 4 = RHS \, \, \ forall m \ ge 1. [/matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] La proposición P es verdadera para [math] k = m + 1 [/ math] si es verdadera para [math] k = m [/ math] y también, la proposición P es cierto para [matemáticas] k = 1. [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow \ qquad [/ matemática] La proposición P: [matemática] 3 ^ {2k + 1}> (k + 1) ^ 4 [/ matemática] es verdadera [matemática] \, \, \, \ forall \, \, k \ in \ mathbb {N}. [/ math]

[matemáticas] \\ [/ matemáticas]

Ahora demostraremos que la proposición Q: [matemáticas] 3 ^ {n ^ 2}> (n!) ^ 4 \, \, \ forall \, \, n \ in \ mathbb {N} [/ math] es verdadera .

Para [matemáticas] n = 1, LHS = 3 ^ {n ^ 2} = 3 ^ {1 ^ 2} = 3> 2 = 1 + 1 = n + 1 = RHS. [/ Matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] La proposición Q es verdadera para [math] n = 1 [/ math].

Suponga que la proposición es verdadera para [matemáticas] n = k [/ matemáticas].

[math] \ Rightarrow \ qquad 3 ^ {k ^ 2}> (k!) ^ 4. [/ math]

Ahora, para [matemáticas] n = k + 1, 3 ^ {n ^ 2} = 3 ^ {(k + 1) ^ 2} = 3 ^ {k ^ 2 + 2k + 1} = 3 ^ {k ^ 2 } \ cdot 3 ^ {2k + 1} [/ matemáticas]

Ya hemos demostrado que [matemáticas] 3 ^ {2k + 1}> (k + 1) ^ 4 [/ matemáticas] y hemos asumido que [matemáticas] 3 ^ {k ^ 2}> (k!) ^ 4. [ /matemáticas]

Por lo tanto, para [matemáticas] n = k + 1, 3 ^ {n ^ 2} = 3 ^ {k ^ 2} \ cdot 3 ^ {2k + 1}> (k!) ^ 4 \ cdot (k + 1) ^ 4 = ((k + 1)!) ^ 4. [/ Matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] La proposición Q es verdadera para [math] n = k + 1 [/ math] si es verdadera para [math] n = k [/ math] y también la proposición es verdadera para [matemáticas] n = 1. [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] La proposición Q: [math] 3 ^ {n ^ 2}> (n!) ^ 4 [/ math] es verdadera [math] \, \, \ forall \, \ , n \ in \ mathbb {N}. [/ math]

Answer 3

[matemáticas] 3 ^ {n ^ 2} = n! ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ {n * n} = n! ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] (3 ^ n) ^ n = n! ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] n = log_3 (n! ^ {\ frac {4} {n}}) [/ matemáticas]

[matemáticas] n = \ frac {4} {n} log_3 (n!) [/ ​​matemáticas]

[matemáticas] \ frac {n ^ 2} {4} = log_3 (n!) [/ ​​matemáticas]

Inducción:

Probar [matemáticas] P_1 [/ matemáticas] es cierto:

LHS:

[matemáticas] \ frac {1} {4} [/ matemáticas]

RHS:

[matemáticas] log_3 (1) [/ matemáticas]

La proposición es inválida

Answer 4

Deje que [math] T_ {n} [/ math] se defina como

[matemáticas] T_ {n} = 3 ^ {n ^ {2}} – (n!) ^ {4} \ text {where} n \ in \ N \ tag 1 [/ math]

Deseamos demostrar que [math] T_ {n}> 0 [/ math] para [math] n> 0 [/ math] y el resultado deseado sigue inmediatamente.

Ahora cuando [math] n = 1 [/ math], from (1), tenemos

[matemáticas] T_ {1} = 3 ^ {1 ^ {2}} – (1!) ^ {4} = 2> 0 [/ matemáticas]

Entonces [matemática] T_ {n}> 0 [/ matemática] o [matemática] 3 ^ {n ^ {2}} – (n!) ^ {4}> 0 [/ matemática] cuando [matemática] n = 1 [ /matemáticas].

Como es habitual con una prueba inductiva, supondremos que (1) se cumple para algún valor de [math] n [/ math], digamos [math] n = k [/ math], luego

[matemáticas] T_ {k} = 3 ^ {k ^ {2}} – (k!) ^ {4}> 0 \ etiqueta 2 [/ matemáticas]

Considere (1) ahora cuando [matemáticas] n = k + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align} T_ {k + 1} & = 3 ^ {(k + 1) ^ {2}} – (k + 1)! ^ {4} \\ & = 3 ^ {k ^ { 2} + 2k + 1} – (k + 1)! ^ {4} \\ & = 3 ^ {k ^ {2}} 3 ^ {2k + 1} – (k + 1)! ^ {4} \ etiqueta 3 \ end {align} [/ math]

De (2) tenemos

[matemáticas] 3 ^ {k ^ {2}}> (k!) ^ {4} [/ matemáticas]

Entonces (3) se puede escribir como

[matemáticas] \ begin {align} T_ {k + 1} &> (k!) ^ {4} 3 ^ {2k + 1} – (k + 1)! ^ {4} \\ & = (k!) ^ {4} 3 ^ {2k + 1} -k! ^ {4} (k + 1) ^ {4} \\ & = k! ^ {4} \ left (3 ^ {2k + 1} – (k +1) ^ {4} \ right) \ tag 4 \ end {align} [/ math]

Podemos ver en (4) que ahora debemos centrar nuestra atención en mostrar que

[matemáticas] 3 ^ {2k + 1} – (k + 1) ^ {4}> 0 \ text {donde} k \ in \ N [/ matemáticas]

Definamos [matemáticas] S_ {k} [/ matemáticas] como

[matemáticas] S_ {k} = 3 ^ {2k + 1} – (k + 1) ^ {4} \ etiqueta 5 [/ matemáticas]

Cuando [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas] en (5)

[matemáticas] S_ {1} = 3 ^ {3} -2 ^ {4} = 27-16 = 11> 0 [/ matemáticas]

Entonces [math] S_ {k}> 0 [/ math] cuando [math] k = 1 [/ math]. Ahora suponga que (5) es cierto para algún valor de [matemáticas] k [/ matemáticas], diga [matemáticas] k = m [/ matemáticas], luego

[matemáticas] S_ {m} = 3 ^ {2m + 1} – (m + 1) ^ {4}> 0 \ etiqueta 6 [/ matemáticas]

Considere (5) cuando [matemáticas] k = m + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align} S_ {m + 1} & = 3 ^ {2 (m + 1) +1} – (m + 1 + 1) ^ {4} \\ & = 3 ^ {2m + 3 } – (m + 2) ^ {4} \\ & = 3 ^ {2} 3 ^ {2m + 1} – (m + 2) ^ {4} \\ &> 9 (m + 1) ^ {4 } – (m + 2) ^ {4} \ text {usando (6)} \\ & = (m + 1) ^ {4} + 8m ^ {4} + 28m ^ {3} + 30m ^ {2} + 4m-7 \\ &> (m + 1) ^ {4} \\ &> 0 \ text {} \ forall m \ geq 1 \ end {align} [/ math]

Ahora [math] S_ {m + 1}> 0 [/ math] if [math] S_ {m}> 0 [/ math], y tenemos [math] S_ {1}> 0 [/ math], entonces [ matemática] S_ {2}> 0 [/ matemática], [matemática] S_ {3}> 0 [/ matemática], [matemática] \ puntos [/ matemática] en consecuencia (4) da [matemática] T_ {k + 1} > 0 [/ math] proporcionó [math] T_ {k}> 0 [/ math], y tenemos [math] T_ {1}> 0 [/ math], lo que significa que

[matemáticas] T_ {n} = 3 ^ {n ^ {2}} – (n!) ^ {4}> 0 \ text {} \ forall n \ geq 1 \ in \ N [/ math]

o

[matemáticas] 3 ^ {n ^ {2}}> (n!) ^ {4} \ text {} \ forall n \ geq 1 \ in \ N [/ math]

Answer 5

La relación [matemática] 3 ^ {(n + 1) ^ 2} / 3 ^ {n ^ 2} [/ matemática] es [matemática] 3 \ cdot9 ^ n [/ matemática]. Esto crece más rápido que [matemáticas] ((n + 1)!) ^ 4 / (n!) ^ 4 = (n + 1) ^ 4 [/ matemáticas], porque un exponencial crece más rápido que un polinomio. (También puede usar [matemática] 9 ^ {n + 1} / 9 ^ n> (n + 1) ^ 4 / n ^ 4 [/ matemática] para [matemática] n [/ matemática] suficientemente grande).

Entonces, si la desigualdad se cumple para algunas [matemáticas] n [/ matemáticas], se cumple para los enteros más grandes.

Answer 6

Básicamente, solo puedes demostrar que está equivocado, prueba n = 1.

—————————— 分割 线 ———————————————

bueno, lo siento, señor Richard, mi primera respuesta es una broma, y ​​gracias por intentarlo. ahora déjame darte una manera de probarlo.

conjunto A (n) = 3 ^ n ^ 2, B (n) = (n!) ^ 4, gracias al intento del Sr. Richard, para n = 1 y 2, es válido,

supongamos que An = K (n) A (n-1), B (n) = L (n) B (n), si K (n)> L (n) para n> = 2 es válido, que podemos probar it, y K (n) = 3 ^ (2n-1), L (n) = n ^ 4, y para n = 1 y 2 y 3, K (n)> L (n), use de la misma manera, supongamos que K (n) = Q (n) K (n-1), L (n) = P (n) L (n-1), si podemos demostrar que Q (n)> P (n) es válido para n > = 3, entonces podemos probarlo. y

Q (n) = 9, P (n) = (1 + 1 / (n-1)) ^ 4 <(1 + 1/2) ^ 4 = 5.0625 <9 = Q (n).

entonces……

es válido