¿Qué es [matemáticas] (\ frac {xy} {z} + \ frac {yz} {x} + \ frac {zx} {y}) (\ frac {z} {xy} + \ frac {y} {zx } + \ frac {x} {yz}) [/ math] if [math] x + y + z = 0 [/ math]?

Answer 1

9. Suponga que [math] x, y, z \ neq 0 [/ math], o la expresión no está definida. Sin pérdida de generalidad, [matemática] xyz = 1 [/ matemática], (podemos multiplicar cada variable por una constante para mantener la expresión con el mismo valor). Ahora:
[matemáticas] 0 = (x + y + z) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 – xy – yz – zx) = (\ sum x ^ 3) – 3xyz [/ matemáticas]

de modo que [matemáticas] \ sum x ^ 3 = 3 [/ matemáticas]; y

[matemáticas] 0 = (x + y + z) ^ 3 = (\ sum x ^ 3) + 6 (\ sum x ^ 2 (y + z)) + 3xyz [/ matemáticas]

de modo que [matemáticas] \ sum x ^ 2 (y + z) = -1 [/ matemáticas].

Observe también la identidad [matemáticas] xy (xy) + yz (yz) + zx (zx) = (yx) (zy) (xz). [/ Matemáticas]

Ahora, el primer factor en la expresión deseada es:

[matemáticas] \ sum \ frac {xy} {z} = \ frac {\ sum xy (xy)} {xyz} = \ frac {\ prod yx} {xyz} [/ math]

y el segundo factor es

[matemáticas] \ sum \ frac {z} {xy} = \ frac {\ sum z (yz) (zx)} {\ prod xy} [/ math]

Por lo tanto, la expresión es:

[matemática] \ sum -z (yz) (zx) = \ sum z ^ 3 – z ^ 2 (x + y) + xyz = 9. [/ matemática]

Answer 2

Si x + y + z = 0

X = -yz = – (y + z)

Y = -zx = – (z + x)

Z = -xy = – (x + y)

Ahora, sustituyendo valores de x, y y z

= [xy / – (x + y) + yz / – (y + z) + zx / – (z + x)] [(- xy / xy) + (- zx / zx) + (- yz / yz) ]

Tomando el signo menos común obtenemos:

= [(- x + y / x + y) + (- y + z / y + z) + (- z + x / z + x)] [- xy / xy) + (- zx / zx) + ( -yz / yz)]

= (- 1–1–1) (- 1–1–1)

= (- 3) (- 3)

= 9 = ans

Answer 3

NOTA = En la pregunta original, había ac en la quinta desigualdad. Simplemente reemplácelo con x y la respuesta debería ser la misma.

Answer 4

Aplica álgebra elemental y descúbrelo.