Si una raíz de la ecuación [matemáticas] x ^ 2 + px + q = 0 [/ matemáticas] es el cuadrado de la otra, entonces ¿cómo muestro que [matemáticas] p ^ 3-q (3p-1) + q ^ 2 = 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

Deje que las dos raíces sean [math] \ alpha ^ 2 [/ math] y [math] \ alpha [/ math] respectivamente. Luego, de acuerdo con las fórmulas de Vieta:

[matemáticas] \ alpha ^ 2 + \ alpha = -p \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ alpha ^ 3 = q \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] (- p- \ alpha ^ 2) ^ 3 = q \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] (p + \ alpha ^ 2) ^ 3 = -q \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] p ^ 3 + 3p ^ 2 \ alpha ^ 2 + 3p \ alpha ^ 4 + \ alpha ^ 6 = -q \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] p ^ 3 + q + q ^ 2 + 3p \ alpha ^ 2 (p + \ alpha ^ 2) = 0 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] p ^ 3 + q + q ^ 2 + 3p \ alpha ^ 2 (- \ alpha) = 0 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] p ^ 3 – 3pq + q + q ^ 2 = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] p ^ 3 – q (3p-1) + q ^ 2 = 0 \ small \ blacksquare \ tag * {} [/ math]

Answer 2

Recordemos las fórmulas de Vieta que dicen que [matemática] p [/ matemática] es lo opuesto a la suma de las raíces y [matemática] q [/ matemática] es el producto de las raíces.

Supongamos que [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] son ​​las dos raíces de la ecuación, con [matemáticas] b = a ^ 2 [/ matemáticas]. Luego :

[matemáticas] p = – (a + b) = – (a + a ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] q = ab = a ^ 3 [/ matemáticas]

Por lo tanto:

[matemáticas] p ^ 3 = – (a ^ 3 + 3a ^ 4 + 3a ^ 5 + a ^ 6) [/ matemáticas] simplemente expandiéndolo.

[matemáticas] -q (3p-1) = -a ^ 3 (3 (-a – a ^ 2) – 1) = 3a ^ 4 + 3a ^ 5 + a ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] q ^ 2 = a ^ 6 [/ matemáticas]

Entonces :

[matemáticas] p ^ 3 – q (3p-1) + q ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Espero que haya ayudado!

Answer 3

Deje que las raíces sean [matemáticas] r [/ matemáticas] y [matemáticas] r ^ 2 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] r + r ^ 2 = -p [/ matemáticas] y [matemáticas] r ^ 3 = q [/ matemáticas]. Cubriendo el primero da [matemáticas] r ^ 3 + 3r ^ 4 + 3r ^ 5 + r ^ 6 = -p ^ 3 [/ matemáticas]. El primer y el último término son [matemática] q [/ matemática] y [matemática] q ^ 2 [/ matemática] respectivamente. Los dos términos del medio equivalen a [matemáticas] 3r ^ 3 (r + r ^ 2) = -3pq [/ matemáticas]. Combinando, el resultado sigue.

Answer 4

Primero [matemáticas] x ^ 2 + px + q = 0 [/ matemáticas]

Las raíces son: [matemáticas] x_1 = a, x_2 = a ^ 2 [/ matemáticas]

Por lo tanto: [matemáticas] p = -a (a + 1), q = a ^ 3 [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] p ^ 3-q (3p-1) + q ^ 2 = -a ^ 3 (a + 1) ^ 3-a ^ 3 (-3a ^ 2–3a-1) + a ^ 6 = [/ matemáticas]

[matemáticas] = a ^ 3 (-a ^ 3–3a ^ 2–3a-1 + 3a ^ 2 + 3a + 1 + a ^ 3) = 0 [/ matemáticas]

Answer 5

Deje que las raíces sean ay a ^ 2. Por lo tanto

a + a ^ 2 = -p ……………… .. (1)

aa ^ 2 = q

a ^ 3 = q …………………… (2)

En la ecuación de cubos (1) ambos lados

a ^ 3 + 3a.a ^ 2. (a + a ^ 2) + a ^ 6 = -p ^ 3

a ^ 3 + 3.a ^ 3. (a + a ^ 2) + (a ^ 3) ^ 2 = -p ^ 3

poner a ^ 3 = q, y (a + a ^ 2) = – p

q-3.q.p + q ^ 2 = -p ^ 3

p ^ 3–3.q.p + q + q ^ 2 = 0

p ^ 3-q (3p-1) + q ^ 2 = 0, probado.