¿Existe una función que satisfaga todas las condiciones de continuidad, excepto la condición 3?

Answer 1

Sí, generalmente llamamos a estas discontinuidades removibles porque el “agujero” se puede “rellenar”. Un ejemplo de una función sería algo así como
[matemáticas] \\\ hspace {6ex} f (x) = \ begin {cases} & 2 \ text {if} x = 3 \\ & 1 \ text {if} x \ neq 3 \ end {cases} \\\\ [/matemáticas]

1) [math] f (x) [/ math] se define para todos [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math]

2) [matemáticas] \ lim_ {x \ to3 ^ -} f (x) = \ lim_ {x \ to3 ^ +} f (x) = 1 [/ matemáticas]

3) [math] \ lim_ {x \ to 3} f (x) \ neq f (3) [/ math], porque [math] \ lim_ {x \ to3} f (x) = 1 [/ math], pero [matemáticas] f (3) = 2 [/ matemáticas]

Puede ver que [matemática] f (x) [/ matemática] está definida para todos los números reales, y el límite izquierdo y derecho existe en [matemática] x = 3 [/ matemática], pero el límite allí no es igual a [matemática ] f (3) [/ matemáticas]. Eso significa que la condición uno y dos pasan, pero la condición tres falla. Aquí hay un gráfico de dicha función (en Desmos)

Answer 2

Si. La función puede existir. Considere la siguiente función por partes: definimos ciertas funciones de esta manera,

[matemáticas] \ displaystyle f (x) \ begin {cases} x ^ {2} +3 &, x \ neq 0 \\ 0 &, x = 0 \ end {cases} \ tag * {} [/ math]

1. [matemática] x [/ matemática] se define en [matemática] c [/ matemática] y [matemática] f (c) [/ matemática] existe.

[matemática] x [/ matemática] se define en [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] f (0) [/ matemática] existe. [matemáticas] f (0) = 0 [/ matemáticas].

2. límite x enfoques c existe.

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow c} f (x) = L \ iff \ lim_ {x \ rightarrow c ^ +} f (x) = \ lim_ {x \ rightarrow c ^ -} f (x) = L \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow 0 ^ +} f (x) = \ lim_ {x \ rightarrow 0 ^ +} x ^ 2 + 3 \ iff \ lim_ {x \ rightarrow 0 ^ +} x ^ 2 +3 = 3 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow 0 ^ -} f (x) = \ lim_ {x \ rightarrow 0 ^ -} x ^ 2 + 3 \ iff \ lim_ {x \ rightarrow 0 ^ -} x ^ 2 +3 = 3 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow 0} f (x) = \ lim_ {x \ rightarrow 0} x ^ 2 + 3 \ iff \ lim_ {x \ rightarrow 0} x ^ 2 + 3 = 3 \ tag *{}[/matemáticas]

3. el límite y [matemáticas] f (c) [/ matemáticas] son ​​iguales

Esto no se sostiene.

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow 0} f (x) = \ lim_ {x \ rightarrow 0} x ^ 2 + 3 \ iff \ lim_ {x \ rightarrow 0} x ^ 2 + 3 = 3 \ tag *{}[/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle f (0) = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Si la función no satisface todo excepto la tercera condición, se dice que la función es discontinua en ese punto. Este tipo de discontinuidad se llama discontinuidad removible. Podemos referirlo como una brecha en [math] x = 0 [/ math] para esa función.

Answer 3

Gracias por el A2A!

Si:

[matemáticas] f (x) = \ begin {cases} x & \ text {if $ x = 0 $} \\ x + 1 & \ text {else} \ end {cases} [/ math]

Esto se llama discontinuidad removible.