¿Cuál es el valor máximo de cos (x) + 2sin (x) si x es real?

Answer 1

TL, DR: [matemáticas] \ sqrt {5} [/ matemáticas].

Es un ejercicio muy básico y común, que se puede resolver de una manera muy básica y común.

No te insultaré a ti ni a otros coroanos dando una respuesta que cualquier alumno de 11º grado te daría , incluso si es perfectamente correcto: diferenciación.

es decir, encontrar dónde la derivada es nula y probar que la segunda derivada es localmente negativa para que la función sea cóncava localmente, lo que significa que ha encontrado el máximo.

Aquí hay otra forma bastante elegante de resolver esto (y más simple en términos de longitud, cálculos y equipaje matemático, ya que no necesita todas las construcciones de cálculo diferencial, sino solo un poco de geometría ).

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Considere que la cantidad [math] \ cos (x) + 2 \ sin (x) [/ math] es en realidad el producto escalar de los dos vectores:

[matemáticas] \ vec {u} = \ begin {pmatrix} \ cos (x) \\ \ sin (x) \ end {pmatrix} [/ math] y [math] \ vec {v} = [/ math] [ matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \ end {pmatrix} [/ math]

El primer vector depende de [matemáticas] x [/ matemáticas] y en realidad describe un círculo (la norma es constante igual a [matemáticas] 1 [/ matemáticas]). El segundo vector es constante y es de la norma [math] \ sqrt {5} [/ math].

Usted sabe que el producto escalar de [math] \ vec {u} [/ math] y [math] \ vec {v} [/ math] también es :

[matemáticas] \ vec {u}. \ vec {v} = || \ vec {u} ||. || \ vec {v} ||. \ cos (\ theta) [/ math]

Donde [math] \ theta [/ math] es el ángulo orientado [math] (\ vec {u}, \ vec {v}) [/ math].

Entonces el producto escalar alcanza su máximo cuando los dos vectores son positivamente colineales ([matemática] cos (0) = 1 [/ matemática]) y el máximo es el producto de las normas.

De ahí el valor máximo: [math] \ boxed {\ sqrt {5}} [/ math]

Answer 2

Normalice los coeficientes delante de [math] sin [/ math] y [math] cos [/ math] para obtener la forma [math] a sin (x) + b cos (x) [/ math] como [math] a ^ 2 + b ^ 2 = 1 [/ math], es decir, aquí factorizando por [math] \ sqrt {2 ^ 2 + 1 ^ 2} [/ math]

[matemáticas] 2sin (x) + cos (x) = \ sqrt {5} \ left (\ frac {2} {\ sqrt {5}} sin (x) + \ frac {1} {\ sqrt {5}} cos (x) \ right) [/ math]

Como [matemática] \ left (\ frac {2} {\ sqrt {5}} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {1} {\ sqrt {5}} \ right) ^ 2 = 1 [/ math ], existe [math] \ phi [/ math] como [math] cos (\ phi) = \ frac {2} {\ sqrt {5}} [/ math] y [math] sin (\ phi) = \ frac {1} {\ sqrt {5}} [/ math]

Entonces [matemáticas] 2sin (x) + cos (x) = \ sqrt {5} \ left (cos (\ phi) sin (x) + sin (\ phi) cos (x) \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ sqrt {5} sin (x + \ phi) [/ matemáticas]

Podemos deducir un máximo de la función, igual a [math] \ sqrt {5} [/ math]