Si [math] g ‘(x) [/ math] es constante, ¿cómo encuentra la quinta derivada de [math] f (g (x)) [/ math]?

Answer 1

Haremos uso del hecho de que:

[matemáticas] g ” (x) = 0 [/ matemáticas]

[math] \ forall x \ in \ mathbb {R} [/ math]

Por la regla de la cadena,

[matemáticas] \ frac {d} {dx} f (g (x)) = f ‘(g (x)) \ cdot g’ (x) [/ matemáticas]

Ahora tendremos que usar la regla del producto y la regla de la cadena en conjunto:

[matemáticas] \ frac {d} {dx} f ‘(g (x)) \ cdot g’ (x) = f ” (g (x)) \ cdot g ‘(x) \ cdot g’ (x) + f ‘(g (x)) \ cdot g’ ‘(x) = f’ ‘(g (x)) \ cdot [g’ (x)] ^ 2 [/ matemática]

Esperemos que ahora veas un patrón. Cada vez que hacemos la regla del producto, obtenemos una [matemática] g ” (x) [/ matemática] que se suicidará. Entonces, cuando finalmente tomamos la quinta derivada, deberíamos tener:

[matemáticas] f ^ {(5)} (g (x)) \ cdot [g ‘(x)] ^ 5 [/ matemáticas]

Actualización gracias a

Darryl Nester y Nishant Kumar

Pasó por alto la multiplicación de la g ‘(x).

Answer 2

Si [math] g ‘(x) [/ math] es constante, entonces [math] g’ ‘(x) = 0 [/ math] [math]. [/ Math]

Entonces, [matemáticas] f (g (x)) ‘= f’ (g (x)). g ‘(x) [/ matemáticas]

de nuevo diferenciando la segunda vez [matemáticas] f (g (x)) ” = f ” (g (x)). (g ‘(x)) ^ 2 + f’ (g (x)). g ” (x) = f ” (g (x)). (g ‘(x)) ^ 2 [/ matemáticas]

Del mismo modo, si seguimos diferenciando f (g (x)) por tercera vez, nos quedaremos con

[matemáticas] f ^ 3 (g (x)). (g ‘(x)) ^ 3 [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas]

Cuarta vez: [matemáticas] f ^ 4 (g (x)). (g ‘(x)) ^ 4. [/ math] [math] [/ math] Y el paso final sería la respuesta [math] f ^ 5 (g (x)). (g ‘(x)) ^ 5 [/ matemáticas]

Answer 3

Deje [math] g ‘(x) = C [/ math].

[matemáticas] f (g (x)) ‘= f’ (g (x)) g ‘(x) = Cf’ (g (x)) [/ matemáticas]

Claramente, repita cuatro veces más para obtener:

[matemáticas] f (g (x)) ” ” ‘= C ^ 5f’ ” ” (g (x)) [/ matemáticas]

Eso es todo lo que puedo decir sin más información.

Answer 4

No daré la respuesta explícitamente (en parte para evitar ingresar al modo matemático) pero las herramientas necesarias para encontrar la respuesta: la regla de la cadena da que f (g) ‘= f’ (g) * g ‘. Aplique la regla del producto (f * g) ‘= f’ * g + g ‘* f, y el hecho de que la derivada de una constante es igual a 0, y obtendrá su respuesta.

Answer 5

si g ‘(x) = const significa g = ax + b o es una función lineal de x.

Entonces, f (g (x)) es simplemente una f (t) re-parametrizada, y no podría decir nada en particular sobre su quinta derivada.