Muy buena pregunta! Aquí está mi forma favorita de mostrarlo.
Primero, cuando [math] b [/ math] es un número entero, defina [math] a ^ b: = \ underbrace {a \ cdot a \ cdots a} _ {b \ text {times}} [/ math]. Luego, deje que [math] m [/ math] sea un número entero.
Conocemos una definición de [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas]:
[matemáticas] e ^ x = \ displaystyle \ lim_ {m \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {x} {m} \ right) ^ m \ tag * {} [/ math]
- ¿Cuáles son las relaciones entre [matemáticas] \ cos {x} [/ matemáticas], [matemáticas] \ sin {x} [/ matemáticas] y [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas]?
- Cómo resolver [matemáticas] (x-1) (x-4) (x + 2) ^ 2 = 70x ^ 2 [/ matemáticas]
- Considere el campo de desplazamiento como se indica a continuación. ¿Cuál es la tensión de corte en el punto P (1,2,0)? U = [3y2i + 6yzj + (5 + 8 × 2) k] 10-2?
- ¿[Math] \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x_n = \ sum_ {n \ geq0} x_n [/ math]?
- Cómo resolver [matemáticas] x ^ 4 + x ^ 2-1 = 0 [/ matemáticas]
Bueno, diferenciemos este límite:
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ lim_ {m \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {x} {m} \ derecha) ^ m & = \ lim_ {m \ to \ infty} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ left (\ left (1+ \ frac {x} {m} \ right ) ^ m \ right) \\ ~ \\ & = \ lim_ {m \ to \ infty} m \ left (1+ \ frac {x} {m} \ right) ^ {m-1} \ cdot \ frac { 1} {m} \\ ~ \\ & = \ lim_ {m \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {x} {m} \ right) ^ {m-1} \\ ~ \\ & = \ lim_ {m \ to \ infty} \ frac {\ left (1+ \ frac {x} {m} \ right) ^ {m}} {\ left (1+ \ frac {x} {m} \ right) } \\ ~ \\ & = \ frac {\ lim \ limits_ {m \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {x} {m} \ right) ^ {m}} {\ lim \ limits_ {m \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {x} {m} \ right)} \\ ~ \\ & = e ^ x \ end {align} \ tag * {} [/ math]