Este polinomio resulta tener una factorización sorprendentemente ordenada, por lo que alguien definitivamente “diseñó” esto para que sea solucionable sin ser directo. Puede haber una forma elegante de encontrarlo, pero aquí simplemente seguiré el enfoque menos inspirado.
Después de expandir y reorganizar, encontramos
[matemática] x ^ 4-x ^ 3-82x ^ 2-4x + 16 = 0 [/ matemática].
Esto es, en principio, solucionable con los métodos conocidos para resolver polinomios cuárticos, pero eso es mucho trabajo. Por lo general, al encontrar tales problemas en competiciones o conjuntos de problemas, esperamos un camino más fácil.
- Considere el campo de desplazamiento como se indica a continuación. ¿Cuál es la tensión de corte en el punto P (1,2,0)? U = [3y2i + 6yzj + (5 + 8 × 2) k] 10-2?
- ¿[Math] \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x_n = \ sum_ {n \ geq0} x_n [/ math]?
- Cómo resolver [matemáticas] x ^ 4 + x ^ 2-1 = 0 [/ matemáticas]
- Cómo demostrar que [matemáticas] 3 ^ {n ^ 2}> (n!) ^ 4 [/ matemáticas] para cualquier entero positivo n
- ¿Cuál es la suma de un número impar consecutivo que es igual a veinte?
La ruta más fácil sería una raíz racional, que en este caso (dado que el coeficiente principal es 1) solo significa una raíz entera. Una revisión rápida de los divisores de 16 revela que no tenemos suerte. No hay raíces enteras para nosotros.
La siguiente mejor opción sería si este polinomio es un producto de dos cuadráticos, por lo que esperamos
[matemáticas] x ^ 4-x ^ 3-82x ^ 2-4x + 16 = (x ^ 2 + ax + b) (x ^ 2 + cx + d) [/ matemáticas]
donde [matemática] a, b, c, d [/ matemática] son enteros (una vez más, usamos el hecho de que si un polinomio monico factoriza sobre los racionales entonces factoriza sobre los enteros).
Como el coeficiente de [matemática] x ^ 3 [/ matemática] es [matemática] -1 [/ matemática], necesitamos [matemática] a + c = -1 [/ matemática], o [matemática] c = -a- 1 [/ matemáticas]. La factorización ahora parece
[matemática] x ^ 4-x ^ 3-82x ^ 2-4x + 16 = (x ^ 2 + ax + b) (x ^ 2- (a + 1) x + d) [/ matemática]
Sabemos que [math] bd = 16 [/ math] (del coeficiente libre) y también [math] ad- (a + 1) b = -4 [/ math] (del coeficiente de [math] x [/ matemáticas]). La primera ecuación nos da un número bastante pequeño de opciones para encuestar, como [matemáticas] b = 1, d = 16 [/ matemáticas] o [matemáticas] b = 2, d = 8 [/ matemáticas] y así sucesivamente. La mayoría de ellos obligan a [matemáticas] a [/ matemáticas] a no ser un número entero, como por ejemplo de [matemáticas] b = 1, d = 16 [/ matemáticas] obtenemos [matemáticas] a = -1 / 5 [/ matemáticas]. La excepción más intrigante es [math] b = d = 4 [/ math], que funciona perfectamente dejando [math] a [/ math] completamente libre. Otra opción es [matemática] b = -8, d = -2, a = -2 [/ matemática] pero esta no produce el [matemático] -82 [/ matemático] requerido como el coeficiente de [matemático] x ^ 2 [/ matemáticas], y lo mismo ocurre con [matemáticas] b = -2, d = -8, a = -1 [/ matemáticas].
Entonces buscamos una factorización de la forma
[matemática] x ^ 4-x ^ 3-82x ^ 2-4x + 16 = (x ^ 2 + ax + 4) (x ^ 2- (a + 1) x + 4) [/ matemática]
Ya sabemos que todos los coeficientes funcionan bien, excepto el del medio, el [matemático] -82 [/ matemático], para el cual necesitamos encontrar el correcto [matemático] a [/ matemático]. El coeficiente de [matemática] x ^ 2 [/ matemática] en el RHS es [matemática] 8-a (a + 1) = – 82 [/ matemática] y esto, he aquí, está bien resuelto por [matemática] a = -10 [/ matemática] o [matemática] a = 9 [/ matemática], los cuales producen la factorización
[matemáticas] x ^ 4-x ^ 3-82x ^ 2-4x + 16 = (x ^ 2-10x + 4) (x ^ 2 + 9x + 4) [/ matemáticas]
Entonces, finalmente, la ecuación original se resuelve con cualquier solución de cualquiera de esas dos cuadráticas, que se resuelven fácilmente. Las cuatro soluciones son:
[matemáticas] \ displaystyle x = 5 \ pm \ sqrt {21} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {-9 \ pm \ sqrt {65}} {2} [/ matemáticas]
Y hemos terminado.