¿[Math] \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x_n = \ sum_ {n \ geq0} x_n [/ math]?

Answer 1

La primera expresión denota una SUMA ORDENADA: tome x1, agregue x2, luego agregue x3, etc. y vea si las sumas parciales tienden a un límite finito. La segunda expresión, que rara vez se usa, denotaría una suma SIN ORDENAR: solo agrupe todas las xn y vea qué obtiene. Ahora, para un conjunto finito de sumandos, no habría ninguna diferencia, ni habría ninguna si todos los términos fueran positivos; pero en el caso general, la suma ordenada podría converger a un límite definido, mientras que la suma no ordenada no. Ejemplo: 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + … converge (lentamente) a log2 = 0.69314 …, pero no puede simplemente sumar los términos positivos y luego restar los términos negativos, como 1 + 1/3 + 1/5 + … diverge demasiado infinito, al igual que 1/2 + 1/4 + 1/6 / …

Como se nos enseña en el cálculo, una serie absolutamente convergente puede reorganizarse libremente, pero una serie condicionalmente convergente no puede.

Answer 2

¡Tienes suerte de que mi primer año de preparación no esté en Quora para ver esta pregunta (al menos, no creo que lo esté)!

La igualdad que estás escribiendo tiene sentido porque estás tratando de igualar dos objetos distintos. El objeto a la izquierda, [math] \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x_n [/ math] es un número (ya sea eso o un infinito si la serie no converge) mientras que el de la derecha es el serie en sí !

Una serie no es un número, puede considerarla como la lista de sumas parciales si lo desea, pero definitivamente no es un número. Es un poco como tomar [math] f (x) [/ math] como una función mientras que en realidad es la función [math] f [/ math] evaluada en un punto [math] x [/ math]. Simplemente no son lo mismo. (Aunque, los físicos toman otra postura sobre esto, te daré eso. Pero aquí estamos hablando de matemáticas).

Answer 3

No necesariamente depende de lo que establezca el índice. Si se trata de series infinitas, entonces representan lo mismo. Sin embargo, si tienen algún otro uso, entonces sus conjuntos de índices pueden ser diferentes. Por ejemplo, el conjunto de índice del lado trasero derecho es [math] \ mathbb {N} [/ math] y el conjunto de índice del lado izquierdo es [math] \ mathbb {R} [/ math] (o alguna otra posibilidad) .

Answer 4

Si. Estas son solo notaciones diferentes para la misma cosa. Sin embargo, si suma una variable, la primera notación es más común.

Answer 5

Si no hay diferencia