¿Cuáles son las propiedades especiales de [matemáticas] 2 ^ {\ sqrt {2}}? [/ Matemáticas]

Answer 1

La constante [matemáticas] 2 ^ {\ sqrt {2}} [/ matemáticas] se llama la constante de Gelfond-Schneider. Es un número trascendental, que se probó (en 1930) y se puede probar con la ayuda del teorema de Gelfond-Schneider que establece que:

Si [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​números algebraicos con [matemática] a \ neq 0,1 [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] irracional, entonces cualquier valor de [matemáticas] a ^ b [/ matemáticas] es un número trascendental.

Aquí está el valor numérico de [matemática] 2 ^ {\ sqrt {2}} [/ matemática] a [matemática] 500 [/ matemática] dígitos decimales (verificado con Mathematica); es igual a:

2,6651441426902251886502972498731398482742113137146594928359795933649204461787059548676091800051964169419893638542353875146742420314383674078186985054875748950831147839628583561836083461266431794091489100534014373950342870833119045271169737315956529056576328457297981774346372848330862819349528549927583773563188830693383234459611805080976879081261274910728976742978426637632502369601695624881711639702926903859903555628460115605232024465006631806391529947959280102745500352847408628685697748491775146

La forma de fracción continua de [matemáticas] 2 ^ {\ sqrt {2}} [/ matemáticas] se expresa como:

A continuación se muestran algunas propiedades y valores adicionales relacionados con esta constante (verificado con Mathematica):

[matemáticas] \ displaystyle {2 ^ {\ sqrt {2}} = \ frac {c ^ 3-1} {c ^ 3 + 1}}, [/ matemáticas]

donde [matemáticas] \ displaystyle {c = – \ sqrt [3] {\ coth \ left (\ frac {\ ln (2)} {\ sqrt {2}} \ right)}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {2 ^ {\ sqrt {2}} = h ^ 4 + h ^ 2 + a}, [/ matemáticas]

donde [matemáticas] \ displaystyle {h = \ frac {\ sqrt {- \ sqrt {-4 a + 2 ^ {2+ \ sqrt {2}} + 1} -1}} {\ sqrt {2}}} [ /matemáticas]

[matemáticas] e ^ {2 ^ {\ sqrt {2}}} \ aprox. 14.3700207301667733839617243468742366672946526588284764674 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ pi ^ {2 ^ {\ sqrt {2}}} \ aprox \\ 21.13372594061174280804585684808500910761136399181815132468 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle {2 ^ {\ sqrt {2}} = \ frac {\ Gamma \ left (2 ^ {1- \ sqrt {2}} \ right)} {\ int_0 ^ {\ infty} xe ^ { -x ^ {2 ^ {\ sqrt {2}}}} \, dx}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {\ int_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {2 ^ {\ sqrt {2}}}} {e ^ x-1} \, dx = \ zeta \ left (1 + 2 ^ {\ sqrt {2}} \ right) \ Gamma \ left (1 + 2 ^ {\ sqrt {2}} \ right)} \ aprox 4.4439419561290115013 [/ math]

[matemática] \ zeta (z) [/ matemática] es la función zeta de Riemann, y [matemática] \ Gamma (z) [/ matemática] es la función gamma.

[matemáticas] \ displaystyle {2 ^ {\ sqrt {2}} = 2 ^ {\ displaystyle {\ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (1- \ frac {1} {(4 k + 2) ^ 2} \ right) ^ {- 1}}} = \ left (\ int_0 ^ 1 \ ln ^ 2 \ left (\ frac {1} {t} \ right) \, dt \ right) ^ {\ displaystyle \ left ({\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(2 n + 1)!} {2 ^ {3 n + 1} (n!) ^ 2}} \ right)} }[/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle {2 ^ {\ sqrt {2}} = e ^ {i \ pi \ displaystyle {\ left (2 n- \ frac {i 2 \ sqrt {2} \ coth ^ {- 1} (3 )} {\ pi} \ right)}}}, n \ in \ mathbb {Z} [/ math]

Answer 2

Hay algunas cosas interesantes sobre [matemáticas] 2 ^ \ sqrt {2} [/ matemáticas]. Una es que es un número trascendental, es decir, no se puede expresar como la raíz de un polinomio con coeficientes enteros.

También fue un ejemplo para el séptimo de los 23 problemas de Hilbert, un problema que David Hilbert comparó con la hipótesis de Riemann y el último teorema de Fermat en 1919. El propio Hilbert no esperaba que se presentara una prueba en ningún momento durante su vida , pero solo 11 años después, en 1930, Rodion Kuzmin demostró que el número era trascendental, resolviendo así parte del séptimo problema de Hilbert. El teorema más general de Gelfond-Schneider llegó 4 años después y demostró que una clase aún más general de números era trascendental, dando el golpe final al responder el resto del séptimo problema de Hilbert.

Este número se conoce como la constante de Gelfond-Schneider si desea leer más.

Answer 3

No lo sé, pero encontremos algo, eh.

Recuerdo que la raíz cuadrada es solo elevar un número a la mitad de la potencia, algo así como cómo la mentalidad de un hombre se reduce a la mitad cuando su pensamiento se queda sin espacio. Enfermedad Simplemente le gusta una gran variedad de personajes. La compactación significa desarrollos convolucionarios y la raíz cuadrada de dos es típica como representación de esto.

2 elevado a la potencia de {2 elevado a la media potencia} es aproximado a 2 elevado a la potencia 1.414213. Para aproximarnos por segunda vez nos llega la cantidad 2.665143.

Ejecutar 2 ^ (2 ^ (1/2)) da 2.665144. Por lo tanto, expresar esta cantidad en números nunca será racional y, por lo tanto, como una cantidad irracional fácilmente exacerbada (en un intento de mostrar en números), entonces 2 ^ 2 ^ 1/2 o 2 ^ 2 ^ 0.5 es realmente el verdadero Representación de este valor numérico. ¿Quizás necesito algunos paréntesis?

¿De qué otra manera podemos escribir este número real? Bueno, (x ^ m) ^ n = x ^ mn y x ^ a + x ^ b = x ^ a + b, pero este 2 ^ (2 ^ .5) es más simple que necesitar estas reglas de exponente. La regla de la torre se aplica pero no hay nada que ver en x ^ m ^ n como x ^ (m ^ n) aquí.

Lo extraño de la multiplicación no es que sea una simplificación de agregarse una sola cantidad tantas veces. Más bien, la extrañeza se ejemplifica por completo cuando multiplicar un número es simplemente agregar un número a sí mismo la mitad del tiempo. O un tiempo y medio … o cualquier cantidad fraccionaria. Y luego el adorno: … o cualquier cantidad irracional.

Sé que mi análisis es simbólico, pero yo también.