El promedio de los cuadrados de siete enteros consecutivos es 53. ¿Cuál es el promedio de los enteros?

Como el promedio de los siete cuadrados es [matemática] 53 [/ matemática], la suma de los cuadrados es [matemática] 53 (7) = 371 [/ matemática].

Quizás la forma más directa de continuar es dejar que [math] x [/ math] sea el medio de los siete enteros consecutivos. Eso da:

[matemáticas] (x-3) ^ 2 + (x-2) ^ 2 + (x-1) ^ 2 + x ^ 2 + (x + 1) ^ 2 + (x + 2) ^ 2 + (x + 3) ^ 2 = 371 [/ matemáticas]

Al expandirse, uno podría notar que [matemáticas] (xy) ^ 2 + (x + y) ^ 2 = x ^ 2 – 2xy + y ^ 2 + x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 = 2x ^ 2 + 2y ^ 2 [/ matemáticas]. Eso significa que:

[matemáticas] (x + 3) ^ 2 + (x-3) ^ 2 + (x + 2) ^ 2 + (x-2) ^ 2 + (x + 1) ^ 2 + (x-2) ^ 2 + x ^ 2 = 371 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2x ^ 2 + 18 + 2x ^ 2 + 8 + 2x ^ 2 + 2 + x ^ 2 = 371 [/ matemáticas]

[matemática] 7x ^ 2 = 343 [/ matemática] (que es lo que se obtendría si se simplificara directamente)

[matemáticas] x ^ 2 = 49 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ pm 7 [/ matemáticas]

Por lo tanto, los siete enteros son [matemática] -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4 [/ matemática] o [matemática] 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10 [/ matemáticas]. Ambos dan [matemáticas] 53 [/ matemáticas] como el promedio de los cuadrados, por lo que ambos son soluciones válidas. El problema solicita el promedio de los siete enteros, por lo que es [math] 7 [/ math] o [math] -7 [/ math]. (Este problema no tiene una respuesta correcta única).

Todo de aquí es material más avanzado, relacionado con, pero no necesario para resolver, este problema en particular.

Existen enfoques más sistemáticos para este tipo de problema, que tendrían que aplicarse si no hubiera cuadrados [matemáticos] 7 [/ matemáticos], pero, digamos, cuadrados [matemáticos] 1001 [/ matemáticos].

En ese caso, sería aconsejable utilizar el hecho de que [matemática] \ suma \ límites _ {n = 1} ^ N {n ^ 2} = \ frac {N (N + 1) (2N + 1) } {6} [/ matemáticas]. Esto permitiría encontrar rápidamente la suma de cuadrados de una secuencia de enteros consecutivos:

[matemáticas] a ^ 2 + (a + 1) ^ 2 + \ cdots + b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ suma \ límites _ {n = 1} ^ b {n ^ 2} – \ suma \ límites _ {n = 1} ^ {a-1} {n ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {b (b + 1) (2b + 1)} {6} – \ frac {(a-1) (a) (2a-1)} {6} [/ matemáticas]

En nuestro problema, si teníamos [matemáticas] b = a + 6 [/ matemáticas], entonces terminamos con [matemáticas] \ frac {(a + 6) (a + 7) (2a + 13)} {6} – \ frac {(a-1) (a) (2a-1)} {6} [/ math], que se simplifica a [math] \ frac {2a ^ 3 + 39a ^ 2 + 253a + 546} {6} – \ frac {2a ^ 3-3a ^ 2 + a} {6} [/ matemática], o [matemática] \ frac {42a ^ 2 + 252a + 546} {6} [/ matemática], o [matemática] 7a ^ 2 + 42 a + 91 [/ matemáticas]. Eso también es igual a [matemáticas] 7 (a + 3) ^ 2 + 28 [/ matemáticas], que coincide con la suma que se obtuvo del enfoque de “fuerza bruta” (con [matemáticas] a + 3 = x [/ matemáticas] siendo el número entero medio). La ecuación [matemáticas] 7a ^ 2 + 42 a + 91 = 371 [/ matemáticas] tiene dos soluciones para [matemáticas] a [/ matemáticas]: [matemáticas] -4 [/ matemáticas] y [matemáticas] 10 [/ matemáticas] , por lo que el promedio de los siete enteros sigue siendo [matemáticas] 7 [/ matemáticas] o [matemáticas] -7 [/ matemáticas], como antes. *

Si se quiere saber más sobre este tipo de cálculo, existe un área análoga al cálculo que trata con sumas de la misma manera que el cálculo trata con integrales. Un nombre para esto es “cálculo discreto”. De hecho, muchas herramientas de cálculo aparecen en cálculo discreto. Por ejemplo, entre otras cosas, hay derivadas discretas, integrales discretas, integración discreta por partes e incluso ecuaciones diferenciales discretas. Por lo general, sin embargo, las versiones discretas de los conceptos de cálculo reciben sus propios nombres: diferencias, sumas, suma por partes, ecuaciones de diferencia.

* La solución [math] -7 [/ math] no es extraña, pero para obtenerla usando [math] \ sum \ limits _ {n = 1} ^ N {n ^ 2} = \ frac {N (N + 1) (2N + 1)} {6} [/ matemáticas], uno necesita usar una definición de sumas cuando se invierten los límites de la suma que es consistente con [matemáticas] \ suma \ límites _ {n = 1} ^ {N + 1} {f (n)} = \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {N} {f (n)} + f (N + 1) [/ math].

Advertencia: esta no es la única interpretación de sumas como [matemáticas] \ suma \ límites _ {n = 1} ^ {- 10} {n ^ 2} [/ matemáticas], pero es la que tiene sentido en este contexto .

¿Qué debería, por ejemplo, [matemática] \ suma \ límites _ {n = 1} ^ 0 {n ^ 2} [/ matemática] significa? Bueno, si uno le agrega [matemáticas] 1 ^ 2 [/ matemáticas], obtiene [matemáticas] \ suma \ límites _ {n = 1} ^ 1 {n ^ 2} = 1 ^ 2 [/ matemáticas]. Entonces, [math] \ sum \ limits _ {n = 1} ^ 0 {n ^ 2} [/ math] se puede interpretar como una suma de ningún término, que es [math] 0 [/ math]. ¿Qué pasa con [matemáticas] \ suma \ límites _ {n = 1} ^ {- 1} {n ^ 2} [/ matemáticas]? Si le agregamos [matemáticas] 0 ^ 2 [/ matemáticas], obtenemos [matemáticas] \ suma \ límites _ {n = 1} ^ 0 {n ^ 2} [/ matemáticas], que no tenía términos, entonces [ matemáticas] \ suma \ límites _ {n = 1} ^ {- 1} {n ^ 2} [/ matemáticas] debe ser [matemáticas] -0 ^ 2 [/ matemáticas]. Del mismo modo, [matemáticas] \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {- 2} {n ^ 2} = -0 ^ 2 – (- 1) ^ 2 [/ matemáticas]. En general, si [math] b \ geq a [/ math], se puede decir que [math] \ sum \ limits _ {n = b} ^ a {f (n)} = – \ sum \ limits _ {n = a + 1} ^ {b-1} {f (n)} [/ math]. Lo bueno de esta extensión es que mantiene [matemática] \ sum \ limits _ {n = a} ^ b {f (n)} + \ sum \ limits _ {n = b + 1} ^ c {f (n )} = \ sum \ limits _ {n = a} ^ c {f (n)} [/ math] verdadero independientemente del orden de [math] a [/ math], [math] b [/ math] y [matemáticas] c [/ matemáticas]. Esto es análogo a la regla similar sobre integrales con límites conmutados: que intercambiar los límites de una integral voltea el signo del resultado.