¿Por qué x ^ 2 no es un paso reversible sino x ^ 3 un paso reversible, en la lógica de la resolución de ecuaciones?

Answer 1

Los pasos son “reversibles” si, y solo si, el paso (más convencionalmente llamado función) tiene un inverso.

Una función, [math] f \ colon X \ to Y [/ math], asigna cada elemento de su dominio, [math] x \ en X [/ math], a un elemento único de su codominio, [math] y \ en Y [/ math]. Su inverso, si existe, es una función [matemática] g \ colon Y \ a X [/ matemática] tal que para todos [matemática] x \ en X \ colon g (f (x)) = x [/ matemática] .

Para que [math] g [/ math] exista, [math] f [/ math] debe ser inyectiva o uno a uno. Es decir, para todas [matemáticas] a, b \ en X [/ matemáticas] se cumplen las siguientes condiciones equivalentes:

• [matemáticas] f (a) = f (b) \ Rightarrow a = b [/ matemáticas]
• [matemáticas] a \ neq b \ Flecha derecha f (a) \ neq f (b) [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que una función se define en un dominio y codominio, por lo que [math] x ^ 2 [/ math] por sí sola no es una función. El contexto a veces implicará un dominio como los números de Archimedean, [math] \ mathbb R [/ math]. Sin embargo, multiplicar un objeto por sí mismo podría ser del conjunto de números naturales, [math] \ mathbb N [/ math], o números cardaneanos, [math] \ mathbb C [/ math], o incluso de objetos no numéricos como matrices, grupos, etc.

Ahora podemos ver que [math] x ^ 2 \ colon \ mathbb {R \ to R} [/ math] no es reversible porque no es uno a uno:

• [matemáticas] (- 2) ^ 2 = 4 = 2 ^ 2 [/ matemáticas] pero [matemáticas] -2 \ neq2 [/ matemáticas]

Pero [math] x ^ 2 \ colon \ mathbb {N \ to N} [/ math] es reversible.

De manera similar, [math] x ^ 3 \ colon \ mathbb {R \ to R} [/ math] es inyectiva y, por lo tanto, reversible, pero [math] x ^ 3 \ colon \ mathbb {C \ to C} [/ math] no lo es porque:

• [matemáticas] (- 1 + i \ sqrt3) ^ 3 = 8 = 2 ^ 3 [/ matemáticas] pero [matemáticas] -1 + i \ sqrt3 \ neq2 [/ matemáticas]

Una función particular que no es estrictamente reversible y que es una trampa para los incautos es la simple multiplicación [math] \ times \ colon \ mathbb {R \ to R} [/ math] definida por [math] x \ mapsto c \ times x [/matemáticas]. Esto no puede ser uno a uno cuando [math] c = 0 [/ math] e intenta “revertir” el resultado en la división por cero [math] \ ddot \ smallfrown [/ math]

Answer 2

Esta podría ser una pregunta filosófica o podría ser una pregunta de tarea.

Como pregunta de filosofía, es bastante interesante. Tome un número y multiplíquelo por sí mismo: mirando solo la respuesta, no puede decir cuál fue el número inicial. Por ejemplo, si la respuesta es 4, ¿cuál fue el número inicial? Ahora tome esa respuesta y multiplíquela una vez más por el número inicial (para obtener x ^ 3) y ahora se puede resolver de repente: suponga que la respuesta es 8, entonces sabemos que el número inicial fue 2 y no pudo haber sido -2 .

Por supuesto, esa última oración es una trampa. Tenía el número inicial en reserva mientras me maravillaba de la no reversibilidad de la primera operación, así que cuando lo multipliqué nuevamente, agregué la información nuevamente al sistema. No hay magia allí, también podría haber mirado el número inicial que estaba sosteniendo con el propósito de la segunda multiplicación.

Pero realmente no hemos agregado nada a la pregunta “por qué”. Es cierto de todas las funciones simétricas incluso que este es el caso. Por ejemplo, sin (x) es reversible para entradas que están entre -pi / 2 y pi / 2, pero cos (x) no lo es. Sin (x) es una función simétrica impar y cos (x) es par. La función par destruye el signo de la entrada a la función. Eso está realmente incrustado en la definición de funciones pares e impares. Para una función simétrica par, f (x) = f (-x).

Si esta fue una pregunta de tarea, entonces te dirijo a la respuesta a la pregunta de filosofía.

Answer 3

De hecho, esta cuestión debe ser discutida bajo la clara declaración de dominio.

Cuando se trata de un conjunto de números reales, x ^ 2 no es reversible, pero x ^ 3 sí.

Pero en el conjunto de números complejos, x ^ 3 tampoco es reversible.

Por ejemplo, x ^ 3 = 1 <=> x ^ 3–1 = 0

(x-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0

y x ^ 2 + x + 1 = 0 <=> x ^ 2 + x + 1/4 = -3 / 4

(x + 1/2) ^ 2 = -3 / 4

En el conjunto de números reales, no hay x que satisfaga esta ecuación, pero en el conjunto de números complejos, podemos encontrar x = -1 / 2 + (-) sqrt (-3/4) que satisface esta ecuación.

Entonces, reversible o no reversible no solo depende de la función sino que también depende del dominio. En la mayoría de los casos, el dominio es más importante.

Por ejemplo, si definimos que el dominio es {0}, el conjunto solo contiene un elemento 0. Luego, para cualquier x ^ a, (a> 0), x ^ a es reversible en {0}. Porque solo hay un elemento en el dominio.

Answer 4

En el dominio de los números complejos, ninguno es reversible.

En el dominio de los números reales, [matemática] x ^ 3 [/ matemática] es reversible.

En el dominio de los números reales no negativos, [matemática] x ^ 2 [/ matemática] es reversible.

[matemáticas] 2 ^ x [/ matemáticas] es reversible cuando se asignan los números reales a los números reales positivos. En el campo de números complejos, [matemática] 2 ^ x [/ matemática] no es reversible.

Answer 5

Porque con x ^ 2, hay dos valores posibles a los que podría volver. Suponga que comienza con x ^ 2 = 4. Si intenta “ir hacia atrás” desde allí, ahora hay una forma de saber si debe ir a x = 2 o x = -2. Esa incertidumbre no existe con x ^ 3. Si tiene, por ejemplo, x ^ 3 = 8, el único valor posible para x es x = 2.