Suponiendo que está buscando [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] real de modo que [matemática] x + y = \ dfrac {x} {y} [/ matemática]
[matemática] \ por lo tanto xy + y ^ {2} – x = 0 [/ matemática]
[matemáticas] \ por lo tanto x = \ dfrac {y ^ {2}} {1-y} [/ matemáticas]
donde [matemáticas] y \ neq 1 [/ matemáticas]
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Puede ver que para cada valor de [math] y [/ math] puede obtener el valor correspondiente de [math] x [/ math] que satisface la ecuación.
Alternativamente, puede pensar en la ecuación como una ecuación de una cónica.
Dada una cónica:
[matemáticas] Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0. [/ matemáticas]
Discriminante de la cónica, es decir, [matemática] B ^ {2} – 4AC [/ matemática] determinará el tipo de ecuación cónica que representa.
Si [matemáticas] B ^ {2} – 4AC [/ matemáticas]:
- Es mayor que cero = hipérbola
- Es menor que cero = Elipse
- Es igual a cero = Parábola
En nuestro caso :
[matemática] A = 0 [/ matemática], [matemática] B = 1 [/ matemática] y [matemática] C = 1 [/ matemática]
[matemáticas] B ^ {2} – 4AC = 1 [/ matemáticas]
lo que implica que la ecuación dada representa una hipérbola y cada punto que se encuentra en la hipérbola satisfará la ecuación dada. Infinitas soluciones.
Otro caso :
Ahora suponiendo que necesita una integral [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] que satisfagan la condición.
[matemática] x + y \ in \ mathbb {I} \ Rightarrow y | x. [/ math]
[matemática] x = ky [/ matemática] para algún número entero [matemática] k. [/ matemática]
Reescribiendo la ecuación.
[matemáticas] \ por lo tanto ky + y = k [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto y = \ dfrac {k} {k + 1} [/ matemáticas]
Como [math] y [/ math] es un número entero, los valores posibles de [math] k = 0 [/ math] o [math] -2. [/ Math]
Los valores correspondientes de [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] son [matemática] (0,0) [/ matemática] y [matemática] (- 4,2) [/ matemática].
Por lo tanto, solo son posibles dos soluciones integrales.