Si decimos que la derivada es la pendiente de la línea tangente en un punto dado, ¿no se rompe esta definición para una función de tercer grado, ya que su derivada sería una parábola?

Answer 1

Al leer su pregunta, parece que está confundiendo la parábola con la tangente. La parábola no es la tangente del polinomio de tercer grado, la parábola define cómo la pendiente de la tangente varía con [matemáticas] x [/ matemáticas].

La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente en ese punto. La pendiente de la tangente en cualquier punto es un número, no una parábola. Específicamente, suponga que toma la derivada [math] f ‘(x) [/ math] de una función cúbica [math] f (x) [/ math] en un punto [math] x_0, [/ math] lo que es [math] f ‘(x_0): [/ math] ¿una parábola o un número? Es un número. [Matemática] [/ matemática] Sin embargo, [matemática] f ‘(x) [/ matemática] en sí misma es una parábola que define cómo la pendiente de la tangente varía con [matemática] x [/ matemática]. En términos generales, cada punto de la función cúbica tiene una tangente diferente y una pendiente diferente, y la pendiente varía con x de forma parabólica.

Answer 2

No. Si [math] f (x) [/ math] es una función, entonces [math] f ‘(x) [/ math] dará la pendiente de la línea tangente en [math] x [/ math]. Sin embargo, a menos que [math] f (x) [/ math] sea una función cuadrática, entonces [math] f ‘(x) [/ math] no será lineal. La pendiente de la línea tangente en [math] f (x_1) [/ math] generalmente será diferente a la pendiente de la línea tangente en [math] f (x_2) [/ math].

Entonces, si [math] f (x) [/ math] es una función cúbica y trazas un montón de diferentes líneas tangentes, entonces trazas las pendientes de esas líneas en un papel diferente, estarás trazando puntos de la derivada, que será en sí misma una función cuadrática. Pero no piense que una línea tangente individual en [math] x_1 [/ math] le dice algo sobre [math] f (x) [/ math] en cualquier punto que no sea [math] x_1 [/ math].

Answer 3

No, porque la derivada “en un punto dado” no es una parábola.

Si traza las derivadas individuales en todos los puntos de la función de tercer grado, esa gráfica agregada de todos los puntos individuales formará la forma de una parábola.

Pero eso no convierte ninguna derivada particular en un punto específico en una parábola. Después de todo, cada punto en el avión se encuentra en un número infinito de parábolas, pero no generalizamos eso para afirmar que el punto es una parábola.

Una derivada en un punto particular es un valor escalar único: es solo cuando se combina con un número infinito de otras derivadas que termina con una parábola.

Answer 4

No. El valor de la derivada, f ‘(x), independientemente de su orden de grados, es la pendiente de una línea tangente a f (x) en x.

La gráfica de f ‘(x) para una función de tercer grado es una curva. Pero no estamos hablando de la gráfica de f ‘(x), estamos hablando de la pendiente de una línea tangente a f (x). El valor de la pendiente de la línea tangente viene dado por f ‘(x) evaluado en x. Este no es el gráfico de f ‘(x), es el valor de f’ (x).

Esta es una distinción importante para entender.

Piense en este ejemplo de la trigonometría: f (x) = sin (x), f ‘(x) = cos (x). Estos no son polinomios, pero si desea conocer la pendiente de la línea tangente a f (x), está dada por el valor de f ‘(x) en x.

Answer 5

Supongo que por “función de tercer grado” se entiende una función polinómica de tercer grado, y de manera similar que lo que se llama una parábola es una función cuadrática (que se puede dibujar como una parábola).

No veo que la definición se descomponga, o por qué crees que lo hace. ¿Hay algo en un cuadrático que de alguna manera es inconsistente con la representación de la pendiente de un cúbico?

Answer 6

No porque la derivada de una función es el lugar geométrico de las tangentes en cada punto de la función.

Entonces, si f (x) es una función continua, entonces f ‘(x) es el lugar geométrico de todas las tangentes de f (x) y solo porque la tangente a una curva sea infinitesimalmente lineal, no significa que el lugar geométrico de todas las tangentes es lineal La función derivada es en sí misma una función.

Answer 7

No. La derivada representa valores para la pendiente de las líneas tangentes en cada punto (x, y).