Cuatro maneras:
1. La regla del poder:
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sqrt x \; dx = \ int x ^ {1/2} \; dx [/ math].
La regla de poder es:
- Cómo diferenciar f (x) = 1 / \ sqrt {x + 3} usando la definición de límite formal
- ¿Cuántas soluciones de números naturales tiene (1 / x) + (1 / y) = 1/20?
- Si decimos que la derivada es la pendiente de la línea tangente en un punto dado, ¿no se rompe esta definición para una función de tercer grado, ya que su derivada sería una parábola?
- ¿Cómo puedo encontrar los valores que satisface x?
- El promedio de los cuadrados de siete enteros consecutivos es 53. ¿Cuál es el promedio de los enteros?
Para [matemáticas] n \ neq-1 [/ matemáticas], [matemáticas] \ int x ^ n \; dx = \ frac {1} {n + 1} x ^ {n + 1} + C [/ matemáticas]
entonces,
[matemáticas] \ displaystyle \ int x ^ {1/2} \; dx = \ frac {1} {3/2} x ^ {3/2} + C [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {2} {3} \ sqrt {x ^ 3} + C [/ matemáticas]
2. Sustitución en U:
Suponiendo que no sabe que la regla de poder se aplica a poderes fraccionarios, aún puede usar la regla de poder después de una sustitución adecuada.
Sea [math] x = u ^ 2 [/ math], [math] dx = 2u \; du [/ math].
[matemática] \ displaystyle \ int \ sqrt x \; dx = \ int \ sqrt {u ^ 2} 2u \; du [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int 2u ^ 2 \; du [/ matemáticas]
Usando la regla de poder, esto es:
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {2} {3} u ^ 3 + C [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {2} {3} \ sqrt {x} ^ 3 + C [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {2} {3} \ sqrt {x ^ 3} + C [/ matemáticas]
3. Integración por partes:
No hay una regla de poder aquí, pero tendrás que conocer la derivada de la raíz cuadrada.
Dejar:
[matemáticas] u = \ sqrt x [/ matemáticas]
[matemáticas] dv = dx [/ matemáticas]
[matemáticas] du = \ frac {dx} {2 \ sqrt x} [/ matemáticas]
[matemáticas] v = x [/ matemáticas]
La fórmula de integración por partes es:
[matemáticas] \ displaystyle \ int u \; dv = uv – \ int v \; du [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sqrt x \; dx = x \ sqrt x – \ int x \ frac {dx} {2 \ sqrt x} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sqrt x \; dx = x \ sqrt x – \ frac {1} {2} \ int x \ frac {\ sqrt x} {x} \; dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sqrt x \; dx = x \ sqrt x – \ frac {1} {2} \ int \ sqrt x \; dx [/ math]
Y parece que no hemos progresado. Ahora viene la parte extraña que sorprende a las personas cuando lo ven por primera vez. Debes aprender esta técnica, ya que es indispensable para resolver otras integrales.
Agregue [math] \ frac {1} {2} \ int \ sqrt x \; dx [/ math] a ambos lados: (recordando que las integrales pueden diferir por una constante)
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {3} {2} \ int \ sqrt x \; dx = x \ sqrt x + C [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sqrt x \; dx = \ frac {2} {3} x \ sqrt x + C_2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {2} {3} \ sqrt {x ^ 3} + C_2 [/ matemáticas]
4. Integral de la inversa:
Esta es una técnica que no se descubrió hasta el siglo XX. Puede usarlo para encontrar la integral de cualquier cosa donde conozca la integral de la función inversa. Use esto en lugar de memorizar fórmulas para arcotangente, registro natural, etc. También funciona con raíz cuadrada.
Dejar
[matemáticas] y = \ sqrt x [/ matemáticas]
[matemáticas] x = y ^ 2 [/ matemáticas]
La fórmula de integración por partes es:
[matemáticas] \ displaystyle \ int y \; dx = xy – \ int x \; dy [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sqrt x \; dx = x \ sqrt x – \ int y ^ 2 \; dy [/ math]
Regla de poder:
[matemáticas] \ displaystyle = x \ sqrt x – \ frac {1} {3} y ^ 3 + C [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = x \ sqrt x – \ frac {1} {3} \ sqrt x ^ 3 + C [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ sqrt {x ^ 3} – \ frac {1} {3} \ sqrt {x ^ 3} + C [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {2} {3} \ sqrt {x ^ 3} + C [/ matemáticas]