Suponga que [math] u_n = \ lim \ limits_ {m \ to \ infty} (u_ {n + 1} + \ cdots + u_ {n + m}) [/ math] y [math] \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ sum_ {k = 1} ^ n u_k <+ \ infty [/ math]. ¿Cómo puedo probar [matemáticas] u_n = 0 [/ matemáticas] para todas [matemáticas] n [/ matemáticas]?

Answer 1

Tenemos [matemáticas] u_n = \ sum \ limits_ {k = n + 1} ^ {+ \ infty} u_k = u_ {n + 1} + \ sum \ limits_ {k = n + 2} ^ {+ \ infty} u_k = u_ {n + 1} + u_ {n + 1} = 2u_ {n + 1} [/ matemática], lo que significa que [matemática] u_n = 2u_ {n + 1} [/ matemática], entonces [matemática] u_ {n + 1} = \ dfrac {u_n} {2} [/ math] para todos los enteros [math] n \ geq 0 [/ math]. Además, se da que [math] u_0 = \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {+ \ infty} u_k <+ \ infty [/ math]. Por lo tanto, la secuencia [math] \ {u_n \} _ {n = 0} ^ {+ \ infty} [/ math] debe ser algo en la forma [math] \ left \ {u_0, \ dfrac {u_0} {2 }, \ dfrac {u_0} {4}, \ dots, \ dfrac {u_0} {2 ^ k}, \ dots \ right \} [/ math]. En otras palabras, podemos concluir de esto que [math] u_n = \ dfrac {u_0} {2 ^ n} [/ math].

Es fácil verificar que cualquier secuencia satisfaga las condiciones de la pregunta. En efecto,

[matemáticas] u_n = \ dfrac {u_0} {2 ^ n} = u_0 \ left (\ dfrac {1} {2 ^ {n + 1}} + \ dfrac {1} {2 ^ {n + 2}} + \ dots + \ dfrac {1} {2 ^ {n + m}} + \ dots \ right) = u_ {n + 1} + u_ {n + 2} + \ dots + u_ {n + m} + \ dots = \ sum \ limits_ {k = n + 1} ^ {+ \ infty} u_k [/ math].

Por lo tanto, el enunciado del problema no es cierto. Uno de los contraejemplos es [matemática] \ left \ {1, \ dfrac {1} {2}, \ dfrac {1} {4}, \ dots, \ dfrac {1} {2 ^ k}, \ dots \ right \}[/matemáticas].