Cómo probar por definición el límite de [matemáticas] \ frac {n-2 ^ {x_n}} {n + x_n ^ 2} [/ matemáticas] donde [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} x_n = L [ / matemáticas] y L es un número positivo

Answer 1

“Probar por definición” sugiere “usar una prueba típica [matemática] \ epsilon [/ matemática] – [matemática] \ delta [/ matemática]”, pero eso parece un enfoque realmente malo. Tal vez este fue un problema de tarea, y el instructor quiere que se haga de esa manera, pero en su lugar voy a usar los siguientes teoremas de límite estándar (todos los siguientes límites son “[matemáticas] n \ to \ infty [/ matemáticas]” ):

1. Si [math] \ lim x_n = L [/ math], y f es continua en L , entonces [math] \ lim f (x_n) = f (L) [/ math].
2. [math] \ lim (x_n \ cdot y_n) = (\ lim x_n) (\ lim y_n) [/ math] siempre que existan ambos límites.
3. [math] \ lim \ frac {x_n} {y_n} = \ frac {\ lim x_n} {\ lim y_n} [/ math] siempre que existan ambos límites y [math] \ lim y_n \ ne 0 [/ math].

Con (1), tenemos

[matemáticas] \ lim 2 ^ {x_n} = 2 ^ L \ text {y} \ lim x_n ^ 2 = L ^ 2, \ tag * {} [/ matemáticas]

los cuales son cantidades finitas. Como [math] \ lim \ frac1n = 0 [/ math], (2) nos dice que

[matemáticas] \ lim \ left (2 ^ {x_n} \ cdot \ frac1n \ right) = 0 = \ lim \ left (x_n ^ 2 \ cdot \ frac1n \ right) \ tag * {} [/ math]

Finalmente, (3) nos dice que

[matemáticas] \ displaystyle \ lim \ frac {n-2 ^ {x_n}} {n + x_n ^ 2} = \ lim \ frac {1- \ frac {2 ^ {x_n}} {n}} {1+ \ frac {x_n ^ 2} {n}} = \ frac {\ lim \ left (1- \ frac {2 ^ {x_n}} {n} \ right)} {\ lim \ left (1+ \ frac {x_n ^ 2} {n} \ right)} = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

¿Cómo demuestro por definición el límite de [matemáticas] \ frac {n-2 ^ {x_n}} {n + x_n ^ 2} [/ matemáticas] donde [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} x_n = L [/ matemáticas] y L es un número positivo?

Answer 2

Esto se puede hacer usando el límite del cociente de dos secuencias convergentes siendo el cociente de los dos límites

El denominador de la fracción terminará aproximándose [matemática] n + L ^ 2 [/ matemática] – esencialmente como n para n grande.

El numerador se verá como [matemática] n – 2 ^ L [/ matemática] para n grande (también esencialmente como n para n grande)

Para un análisis formal para crear secuencias convergentes, divida el numerador y el denominador entre n (que es> 0), y termina con secuencias en la parte superior e inferior que convergen a 1 (formalmente [matemáticas] 1- \ frac {2 ^ {x_n}} {n} [/ math] y [math] 1+ \ frac {x_n ^ 2} {n} [/ math], por lo que su cociente convergerá a 1.

Tenga en cuenta que esto no depende de si L es positivo o no.