Cómo demostrar que x ^ 3 + 1 tiene exactamente una raíz entera

Answer 1

Me gustaría agregar un resultado clásico aparentemente poco conocido, que es demasiado complicado de aplicar en este simple ejemplo, pero puede ser útil en casos más complejos.

Usando cadenas Sturm puedes contar las raíces reales distintas entre dos puntos ayb (sin multiplicidades).

Comienza definiendo una secuencia de polinomios [matemática] P_0, \ puntos, P_r [/ matemática], comenzando desde la [matemática] p (x) [/ matemática] original:

[matemáticas] P_0 (x): = p (x) [/ matemáticas]

[matemática] P_1 (x): = p ‘(x) [/ matemática], la derivada de p con respecto a x,

[matemática] P_0 (x) = Q_1 (x) P_1 (x) – P_2 (x) [/ matemática], definiendo el polinomio P_2 por división (algoritmo euclidiano)

[matemáticas] P_1 (x) = Q_2 (x) P_2 (x) – P_3 (x) [/ matemáticas],

[matemáticas] \ puntos [/ matemáticas]

[matemáticas] P_ {r-1} (x) = Q_r (x) P_r (x) [/ matemáticas].

Entonces, para cualquier número real, a let w (a) sea el número de cambios de signo en la secuencia [matemática] P_0 (a), P_1 (a), \ dots, P_r (a) [/ matemática].

Si [math] a <b [/ math] son ​​dos valores que no son raíces de [math] p [/ math], entonces [math] w (b) -w (a) [/ math] es el número de diferentes raíces de [matemáticas] p [/ matemáticas] en el intervalo [matemáticas] a <x <b [/ matemáticas].

Answer 2

Fuera de mi cabeza, puedo pensar en al menos tres formas diferentes de probarlo:

1. Factoriza el polinomio en factores lineales de la forma que más te guste. (La fórmula cúbica general es una posibilidad, aunque es una idea terrible. Podrías reconocer que [math] x + 1 [/ math] es un factor y luego usar la fórmula cuadrática; ver la respuesta de Kenneth Ganning. Podrías reconocer que [ matemática] x ^ 3 + 1 [/ matemática] puede factorizarse haciendo uso de las sextas raíces de la unidad. El mundo es su ostra).
2. Puede usar el teorema de la raíz racional para concluir que las únicas raíces racionales son [matemática] \ pm 1 [/ matemática]; de esas dos, solo [matemática] -1 [/ matemática] es una raíz.
3. Puede reconocer que [matemática] x ^ 3 + 1 [/ matemática] es una función creciente (podría resolver esto, digamos, calculando su derivada) y, por lo tanto, puede tener como máximo una raíz real.

Answer 3

A2A: ¿Cómo puedo demostrar que x ^ 3 + 1 tiene exactamente una raíz entera?

Otras respuestas han dado varias formas de probar esto. Permítanme agregar solo uno más:

La regla de signos de Descartes dice que el número de raíces positivas es igual al número de cambios de signo, o es menor que un número par. Por lo tanto, un polinomio que carece de signos negativos, como [matemáticas] x ^ 3 + 1, [/ matemáticas] no puede tener raíces positivas. Esta regla se puede adaptar para encontrar raíces negativas dejando que [matemática] u = -x, [/ matemática] así que [matemática] x ^ 3 + 1 = -u ^ 3 + 1, [/ matemática] que tiene un solo signo- flip, entonces [math] -u ^ 3 + 1 [/ math] tiene exactamente una raíz positiva, entonces [math] x ^ 3 + 1 [/ math] tiene exactamente una raíz negativa. Y esa raíz es un número entero, entonces [matemáticas] x ^ 3 + 1 [/ matemáticas] tiene exactamente una raíz entera.

Ahora veo que la pregunta se modificó para agregar “al demostrar que si x es par, entonces otro polinomio g (x) = x ^ 2 -x +1 no es igual a cero”

Claro, esta es otra forma de demostrarlo. Una vez que descubra que [matemática] x ^ 3 + 1 [/ matemática] tiene una raíz entera, [matemática] x = -1, [/ matemática], entonces puede dividir [matemática] x ^ 3 + 1 [/ matemática] por [ matemática] x + 1 [/ matemática] para obtener el cociente [matemática] x ^ 2-x + 1, [/ matemática] que también se puede escribir como [matemática] x (x-1) +1. [/ matemática] El producto de dos enteros consecutivos es par porque uno de esos enteros es par, por lo que si [math] x [/ math] es un entero, [math] x (x-1) +1 [/ math] siempre es impar, y en particular no puede ser cero.

Answer 4

Deje que [math] a (x) = x ^ 3 + 1 [/ math] sea una función polinómica sobre el anillo polinomial [math] \ mathbb {R} [x] [/ math] sobre el campo [math] \ mathbb { R} [/ matemáticas] de números reales. Dado que [matemática] a (-1) = 0 [/ matemática], [matemática] a (x) [/ matemática] puede factorizarse al producto de polinomios [matemática] (x + 1) ([/ matemática] [matemática] ] x ^ 2-x + 1 [/ matemáticas] [matemáticas]) [/ matemáticas]. Demostraré que [math] (x + 1) [/ math] es el único factor tal que para [math] (xc) [/ math], [math] c \ in \ mathbb {R} [/ math].

Dado que el grado del producto de dos polinomios [matemática] q (x) r (x) [/ matemática] es menor que la suma de los grados de los dos polinomios, si dejamos que [matemática] q (x) = (xc ) [/ math], entonces el grado de [math] r (x) [/ math] es como máximo 2 ya que el grado de [math] a (x) [/ math] es 3.

Suponga que [matemáticas] r (x) [/ matemáticas] es un polinomio de grado 0. Entonces [math] (xc) r (x) = -cr_0 + cx [/ math], que es de grado 1, entonces el producto no puede ser igual a [math] a (x) [/ math].

Suponga que [matemáticas] r (x) [/ matemáticas] es un polinomio de grado 1. Entonces [matemáticas] (xc) r (x) = -cr_0 + (-cr_1 + r_0) x + r_1x ^ 2 [/ matemáticas], que es de grado 2, no de 3.

Esto significa que [matemática] r (x) [/ matemática] es cuadrática (grado 2). Entonces [math] (xc) r (x) = -cr_0 + (-cr_1 + r_0) x + (-cr_2 + r_1) x ^ 2 + r_2x ^ 3 [/ math]. Tenga en cuenta que el coeficiente constante del polinomio anterior [matemática] 1r_0 = 1 [/ matemática] ya que es el coeficiente constante de [matemática] a (x) [/ matemática]. Obviamente [math] r_0 = 1 [/ math]. Entonces [matemáticas] r (x) = r_2x ^ 2 + r_1x + 1 [/ matemáticas].

Para el primer coeficiente [matemática] (- cr_1 + r_0) [/ matemática], dado que [matemática] r_0 = 1 [/ matemática], debe ser igual a [matemática] (r_1 + 1) x [/ matemática]. Debido a que el primer coeficiente de [matemáticas] a (x) = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] r_1 = -1 [/ matemáticas]. Para el segundo coeficiente [math] (- cr_2 + r_1) [/ math], [math] (r_2 – 1) = 0 [/ math], entonces [math] r_2 = 1 [/ math]. Dado que [math] r_0, r_1, r_2 [/ math] solo puede tomar un valor de número real, significa que [math] x ^ 2-x + 1 [/ math] es el único factor polinómico de [math] a ( x) [/ math] si el otro factor es [math] (xc) [/ math]. Según el teorema del factor vinculado anteriormente, esto significa que [matemática] x ^ 3 + 1 [/ matemática] tiene solo una raíz de número real de [matemática] -1 [/ matemática].

Answer 5

Según el teorema fundamental del álgebra (que en realidad es un teorema de análisis), una ecuación polinómica de grado n tiene n raíces (posiblemente duplicadas). En este caso son -1 y dos complejos. Esto descarta la posibilidad de otra solución real, y en particular, ninguna otra solución entera (cada número entero es un número real).

Answer 6

Hecho con la aplicación Desmos.

Como es una función cúbica, puede tener la mayoría de las tres raíces, y aparentemente solo tiene una raíz real (que resulta ser un número entero).

El análisis gráfico puede ser muy útil.

Answer 7

A2A, gracias.

Denotemos su cúbico por [matemáticas] f (x) = x ^ 3 + 1 [/ matemáticas].

Notarás [matemáticas] (1 + x) g (x) = f (x) [/ matemáticas].

Por lo tanto, cada raíz de [math] g (x) [/ math] también será una raíz de [math] f (x) [/ math].

Además, sabemos que [math] f (x) [/ math] no puede tener más de tres raíces distintas.

Answer 8

x ^ 3 + 1 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) el primer término tiene una raíz de -1, el segundo término tiene raíces imaginarias aplicando la ecuación cuadrática.

Answer 9

¿puede el cubo de cualquier otro entero más uno = 0, si no (-1)?