¿Cómo integro [math] \ displaystyle \ int \ frac {\ ln (x)} {1 + x ^ 2} \, \ mathrm dx [/ math]?

Answer 1

[matemáticas] I = \ int \ frac {\ ln (x)} {1 + x ^ 2} dx \, \, \, \, ——— (1) [/ matemáticas]

Deje [math] \ ln (x) = y \, \, \, \, ——— (2) [/ math]

[matemáticas] \ implica x = e ^ y \, \, \, \, ——— (3) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica dx = e ^ y dy \, \, \, \, ——— (4) [/ matemáticas]

Entonces, de las ecuaciones [matemáticas] (1) [/ matemáticas], [matemáticas] (2) [/ matemáticas], [matemáticas] (3) [/ matemáticas] y [matemáticas] (4) [/ matemáticas], tenemos ,

[matemáticas] I = \ int \ frac {ye ^ y} {1 + e ^ {2y}} dy \, \, \, \, ——— (5) [/ matemáticas]

Resolviendo la ecuación (5) por integración por partes.

Deje [math] u = y \, \, \, \, ——— (6) [/ math]

[matemáticas] \ implica du = dy \, \, \, \, ——— (7) [/ matemáticas]

y [matemáticas] dv = \ frac {e ^ y} {1 + e ^ {2y}} dy \, \, \, \, ——— (8) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica v = \ int \ frac {e ^ y} {1 + e ^ {2y}} dy [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ frac {e ^ {2y}} {e ^ y (1 + e ^ {2y})} dy [/ math]

[matemáticas] = \ int \ frac {e ^ {2y} + 1 – 1} {e ^ y (1 + e ^ {2y})} dy [/ math]

[matemáticas] = \ int \ frac {1} {e ^ y} dy – \ int \ frac {1} {e ^ y (1 + e ^ {2y})} dy [/ math]

[matemáticas] = – e ^ {- y} – I_1 \, \, \, \, ——— (9) [/ matemáticas]

Donde [matemáticas] I_1 = \ int \ frac {1} {e ^ y (1 + e ^ {2y})} dy \, \, \, \, ——— (10) [/ matemáticas]

Entonces, de la ecuación [matemáticas] (2) [/ matemáticas], [matemáticas] (3) [/ matemáticas] y [matemáticas] (4) [/ matemáticas], tenemos.

[matemáticas] I_1 = \ int \ frac {1} {x ^ 2 (1 + x ^ 2)} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ frac {1} {x ^ 2} dx – \ int \ frac {1} {1 + x ^ 2} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ frac {1} {x} – arctan (x) \, \, \, \, ——— (11) [/ matemáticas]

Al poner el valor de [matemáticas] x [/ matemáticas] en la ecuación [matemáticas] (8) [/ matemáticas], tenemos,

[matemáticas] I_1 = – e ^ {- y} – arctan (e ^ y) \, \, \, \, ——— (12) [/ matemáticas]

Ahora la ecuación (8) se convierte en,

[matemáticas] v = – e ^ {- y} + e ^ {- y} + arctan (e ^ y) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ arctan (e ^ y) \, \, \, \, ——— (13) [/ matemáticas]

Como, [math] \ int u dv = uv – \ int v du [/ math]

Entonces, de la ecuación [matemáticas] (5) [/ matemáticas], [matemáticas] (6) [/ matemáticas], [matemáticas] (7) [/ matemáticas], [matemáticas] (8) [/ matemáticas] y [matemáticas ] (13) [/ matemáticas], tenemos,

[matemáticas] I = y \ arctan (e ^ y) – \ int \ arctan (e ^ y) dy \, \, \, \, ——— (13) [/ math]

Por favor revise el enlace, ¿Cuál es la integral de [math] \ arctan (e ^ x) [/ math]?

en esto, el Sr. Awnon Bhowmik ha derivado la integración de [math] arctan (e ^ y) dy [/ math], tomando el valor de allí y poniendo en la ecuación [math] (13) [/ math], tenemos,

[matemáticas] I = y \ arctan (e ^ y) – \ frac {i} {2} [Li_2 (−ie ^ y) −Li_2 (es decir, ^ y)] \, \, \, \, ——— ( 14) [/ matemáticas]

Al poner el valor de [matemáticas] e ^ y [/ matemáticas] de la ecuación [matemáticas] (4) [/ matemáticas] en la ecuación [matemáticas] (14) [/ matemáticas], tenemos,

[matemáticas] I = \ ln (x) \ arctan (x) – \ frac {i} {2} [Li_2 (−ix) −Li_2 (ix)] + C [/ matemáticas]

Answer 2

Vea la imagen y resuelva en la última integral.

Luego, finalmente, use la integración por partes para encontrar la respuesta. Es un proceso largo. Estoy preparando el IIT este año, así que no hay tiempo para hacerlo.

Gracias.

$ Tripathy $