5 / y = (x – 15) / 15x
y / 5 = 15x / (x – 15)
y = 75x / (x – 15)
y debería ser un número entero positivo
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=> 75x / (x – 15)> 0
x no puede ser impar ya que (x – 15) será par, mientras que 75x será impar => no hay solución entera para y. Entonces x tiene que ser par
Deje x = 2k
y = 150k / (2k – 15) donde k> = 8
Poniendo límite k -> infinito, obtenemos límite inferior para y -> 75 (compruébelo usted mismo)
y para k = 8, y = 1200 (límite superior)
150k / (2k – 15) = (150k – 1125 + 1125) / (2k – 15) = 75 + [1125 / (2k – 15)]
Entonces, 1125 debe ser divisible por (2k – 15)
2k – 15 = 1125
2k = 1140
k = 570 (límite superior para k)
Echemos un vistazo a los factores de 1125 = 3 * 3 * 5 * 5 * 5
[EDITAR – PUEDES SALTAR PARA FINALIZAR]
Claramente, 2k – 15 deben ser de forma 3a o 5b
2k – 15 = 3a
k = 3 (a + 5) / 2 => a debe ser impar y tenemos un rango de k
Entonces, vamos a escribir todos los valores de un
[1, 3, 5, 7, 9,…, 349, 351, 353, 355, 357, 359, 361, 363, 365, 367, 369, 371, 373, 375] (no es un trabajo duro, vamos !)
Vemos que la potencia máxima de 3 en 1125 es 2. Entonces, si 2k – 15 = 3a, entonces la potencia máxima de 3 disponible en ‘a’ puede ser 1. Eliminemos rápidamente a los contendientes ahora (todos los números con factor 9)
[1, 3, 5, 7, 11.…, 349, 353, 355, 357, 359, 361, 363, 365, 367, 371, 373, 375]
Ahora tenemos todas las ‘a’ con una potencia de 3 = 0 o 1 o 2. Aparte de 3, a solo puede tener 5 como factor como [1125 / (2k – 15) => 1125 tiene solo 3 y 5 como divisores primos ]
Entonces, eliminemos todas las ‘a’ que tengan otros divisores primos que no sean 3 o 5.
[1, 3, 5, 15, 25, 75, 125, 375]
Woah, genial!
entonces, k = 3 * (a + 5) / 2 = [9, 12, 15, 30, 45, 120, 195, 570] yk = 8 también es una solución (ver arriba)
Entonces, x = 2k = [16, 18, 24, 30, 60, 90, 240, 390, 570] – (1)
Del mismo modo, 2k – 15 = 5b => k = 5 (b + 3) / 2
Repita el proceso como arriba.
Obtenemos b = [1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225]
k = [10, 15, 20, 30, 45, 70, 120, 195, 570]
x = 2k = [20, 30, 40, 60, 90, 140, 240, 390, 1140] – (2)
Tomando la unión de (1) y (2), nuestras soluciones enteras son
x = [16, 18, 20, 24, 30, 40, 60, 90, 140, 240, 390, 1140]
Por lo tanto, habrá 12 pares (x, y) que satisfarán la ecuación.
[ACTUALIZAR]
Puede omitir todo después de que 1125 debe ser divisible por 2k-15, es decir, 2k-15 debe ser un factor de 1125.
1125 = (3 ^ 2) (5 ^ 3)
Número total de divisores = (1 + 2) (1 + 3) = 12
(Problema combinatorio clásico de encontrar divisores totales)
Valores totales de x = Valores totales de k
Mínimo divisor = 1 y máximo divisor = 1125
2k-15 = 1 → k = 8 y 2k-15 = 1125 → k = 570 que respeta nuestros límites para k. Entonces, los 12 divisores darán un valor diferente de k, y por lo tanto, diferentes 12 (x, y) pares.