En pocas palabras, ¿cuál es la hipótesis de Riemann?

Answer 1

La forma en que se suele presentar la hipótesis de Riemann es en términos de maquinaria matemática que no es tan simple. Pero la razón por la que las personas se preocupan por esta maquinaria generalmente se debe a sus implicaciones para la distribución de los números primos. Y la hipótesis de Riemann también puede expresarse directamente en términos de la distribución de los números primos.

Específicamente, se ha entendido durante mucho tiempo que el número de números primos hasta [math] n [/ math] es aproximadamente igual a la integral de [math] \ frac {1} {\ ln (x)} [/ math] up a través de [matemáticas] n [/ matemáticas]. Pero no son exactamente iguales; la diferencia es algún término de error [matemática] E (n) [/ matemática].

La hipótesis de Riemann es que este término de error tiene una tasa de crecimiento del orden de [matemáticas] n ^ {1/2} [/ matemáticas], en el sentido técnico específico de que [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {E (n)} {n ^ {1/2 + \ epsilon}} = 0 [/ math] para cualquier positivo [math] \ epsilon [/ math].

Se sabe que este es el “mejor” resultado posible, ya que reemplazar 1/2 con cualquier número menor hace que esta afirmación sea definitivamente falsa. Sin embargo, puede resultar que 1/2 tenga que ser reemplazado por un número mayor.

Ahora, como dije, la hipótesis de Riemann generalmente no se expresa de esta manera. Lo que sucedió fue que Riemann (y sus sucesores) construyeron maquinaria que ayudó a comprender la naturaleza de este término de error. Entre otras cosas, se vio que la tasa de crecimiento del término de error está estrechamente relacionada con las ubicaciones de los ceros de una determinada función matemáticamente natural (la función zeta de Riemann). Específicamente, la tasa de crecimiento del término de error estará en el orden de [math] n ^ k [/ math] para cualquier [math] k [/ math] que sea el supremum de los componentes reales de ceros de la función zeta de Riemann ( y todos los ceros interesantes se ubican simétricamente alrededor de la línea con el componente real 1/2), de modo que la hipótesis habitual de la hipótesis de Riemann es que los ceros (interesantes) de la función zeta de Riemann tienen el componente real 1/2. Pero solo equivale a lo mismo que la afirmación anterior sobre la aproximación del recuento primo.

En caso de que le importe cuál es la función zeta de Riemann, dicho sea de paso: considere la función [matemáticas] F (x, s) = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x ^ nn ^ {- s }[/matemáticas]. Esta serie converge absolutamente siempre que [matemáticas] | x | <1 [/ matemáticas]. Podemos extender por continuidad para obtener valores de [math] F (-1, s) [/ math] para arbitrariamente [math] s [/ math] también (es decir, como [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ a -1} F (x, s) [/ matemáticas]). Además, si [math] s [/ math] tiene un componente real suficientemente grande (específicamente, mayor que [math] 1 [/ math]), encontramos que [math] F (1, s) [/ math] converge, y de hecho es igual a [matemática] F (-1, s) / (1 – 2 ^ {s – 1}) [/ matemática] (esta ecuación es sencilla al considerar [matemática] F (1, s) – F ( -1, s) [/ math]), por lo que podemos definir [math] F (1, s) [/ math] de manera más general de esta manera (nuevamente, extendiéndose por continuidad para manejar los casos donde el denominador en esta división se convierte en cero).

La función zeta de Riemann es [matemática] F (1, s) [/ matemática], y Riemann y sus sucesores demostraron una fórmula para contar primos en términos de las propiedades de esta función, y específicamente sus ceros. Por supuesto, dado que [matemática] F (1, s) = F (-1, s) / (1 – 2 ^ {s – 1}) [/ matemática], estos ceros son básicamente los mismos que los ceros de [matemática ] F (-1, s) [/ math] (la llamada función Dirichlet eta), que, como vimos anteriormente, podría considerarse un poco más fácil de definir formalmente en primer lugar.

Para obtener más información sobre cómo estas funciones se relacionan con el recuento de primos, bueno, lo guardaré para otra publicación …

Answer 2

No creo que la hipótesis de Riemann pueda explicarse de manera muy simple. Como mínimo, necesita saber sobre números complejos y series infinitas.

La serie 1 + 1/2 ^ s + 1/3 ^ s + 1/4 ^ s + … es una serie convergente si s> 1, pero diverge si s <= 1. De hecho, s puede ser cualquier número complejo y el La serie converge si la parte real de s> 1.

Pero una función de una variable compleja que es diferenciable a menudo puede extenderse de una manera única a una función diferenciable en un dominio más amplio. Esto se llama continuación analítica. De hecho, esta serie se puede extender a todo el plano complejo (excepto s = 1). La función resultante se conoce como la función zeta de Riemann. Esta función es importante en la teoría de los números primos y está estrechamente relacionada con el teorema de los números primos, que proporciona una aproximación al número de números primos menor que un número dado.

La función zeta de Riemann es cero cuando z es un entero par negativo. Estos se llaman ceros triviales porque es fácil demostrar que son ceros (para alguien bien versado en análisis complejos). Riemann descubrió que todos los demás ceros tienen la parte real entre 0 y 1. Los únicos ceros no triviales conocidos tienen la parte real 0.5. La hipótesis de Riemann es que todos los ceros no triviales tienen una parte real de 0.5.

Si es cierto, esto conduciría a mejores aproximaciones en el teorema de los números primos.

Answer 3

La hipótesis de Riemann es básicamente que hay algún vínculo entre los números primos. Hasta donde sabemos actualmente, la secuencia de números primos es totalmente arbitraria, pero si podemos descubrir qué es lo que realmente los vincula, entonces eso da un inmenso poder en las matemáticas. Muchos sistemas se basan en números primos, por lo que saber más sobre ellos podría darnos la clave de estos sistemas.

Explicación ligeramente técnica:

Supongamos que π (x) denota el número de primos menores o iguales que x. Recuerde que el teorema del número primo dice que π (x) ~ Li (x), donde Li (x) es la integral de 1 / ln (x). El “~” significa que estas dos cantidades son aproximadamente iguales en el sentido de que su relación va a 1 cuando x va al infinito. Esto equivale a decir que la “densidad” de los números primos cerca de un número x es aproximadamente 1 / ln (x).

La hipótesis de Riemann trata sobre cuán precisa es esta estimación. Dice que | π (x) – Li (x) |

Alguien que realmente haya estudiado estas cosas podría decirle cómo esto es consistente con los números primos que parecen un conjunto adecuadamente “aleatorio”.

Referencia: ELI5: ¿Qué es la hipótesis de Riemann y por qué es importante? • / r / explicarme gusta

Answer 4

Me encontré con la hipótesis de Riemann cuando estaba leyendo Prime Obsession: Bernhard Riemann y el mayor problema no resuelto en matemáticas: John Derbyshire: 9780452285255: Amazon.com: Libros . Esa es una explicación simple a la hipótesis de Riemann, aunque larga.

Estamos investigando la función zeta de Riemann:

[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s): = \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ ni ^ {- s} = 1+ \ frac 1 {2 ^ s} + \ frac 1 {3 ^ s} + \ cdots \ tag * {} [/ math]

Esta función está bien definida en [math] s> 1 [/ math], y Riemann expande el dominio de esta función a algunos números complejos también. Pero los poderes complejos son realmente complicados, y si solo quieres comprender cuál es la hipótesis, ignora los detalles.

Si lo desea, escribí una publicación de blog al respecto: ¡1000 respuestas! – El poder de la complicación por Trevor Cheung en Math Made Interesting.

De hecho, la serie también converge si la parte real de s es mayor que 1, por lo que es tentador generalizarla también a todos los números complejos a través de un proceso llamado continuación analítica. (excepto [math] s = 1 [/ math] que forma un agujero)

Entonces ahora estamos interesados ​​en los ceros de esta función. Se observa que cuando [math] s [/ math] son ​​números pares negativos, la función genera un 0. Sin embargo, esta rama de soluciones parece ser trivial, por lo que llamamos ceros triviales.

Ahora las soluciones no triviales de [matemáticas] \ zeta (s) = 0 [/ matemáticas] es lo que los matemáticos quieren encontrar. Todos los ceros no triviales encontrados parecen tener una parte real de 0.5, o, todas las soluciones encontradas parecen tener la forma de [matemáticas] 0.5 + it [/ matemáticas], por lo que Riemann planteó la hipótesis de que esto es cierto.

Lo que sabemos es que todos los ceros no triviales deben tener una parte real entre 0 y 1 y eso está comprobado. Pero nadie puede probar que la parte real de s debe ser 0.5.

Si puede encontrar una solución que no tenga la parte real de 0.5, ¡felicidades! Has refutado el RP, ¡y 1 millón de dólares ahora es tuyo!

Otro video que explica el RP:

Visualizando la función zeta de Riemann y la continuación analítica

Answer 5

La hipótesis de Riemann es una declaración sobre la distribución de números primos. Puede expresarse de varias maneras, algunas más técnicas que otras.

Una de ellas es una declaración sobre la cantidad de números primos que divergen de su promedio común. Sabemos que el número de números primos hasta [matemática] n [/ matemática], [matemática] \ pi (n) [/ matemática] es en promedio igual a

[matemáticas] \ displaystyle \ pi (n) \ sim \ frac {n} {\ ln {n}} [/ matemáticas]

La hipótesis de Riemann dice cuánto puede diferir el número real de números primos de este resultado promedio.

La hipótesis muestra su cabeza en varias formas, desde estadísticas hasta sistemas dinámicos, desde espacios de funciones hasta esotería cuántica, cada una desafortunadamente bastante técnica y no necesariamente iluminadora por sí misma, sino que cada una involucra una especie de cantidad infinita, ya sea al proponer que alguna afirmación es válido para cada número natural o implica alguna integral o suma infinita.

Entonces, ¿por qué nos jactamos, preguntamos, buscamos e intentamos? Porque es algo que obviamente aparece una vez que comienzas a descomponer la distribución de números primos pero tan intangiblemente envolvente … algo. Es como si alguien dijera que un cuadrado tiene cuatro lados pero no podemos encontrar la forma de contarlos. Para los inteligentes que creen que el mundo consiste en un conjunto limitado de propiedades calculables que deben parecer realmente molestas. 😉

Answer 6

Mire el gráfico superior, agregue un número primo en 2 ^ 2, 3 ^ 2, 5 ^ 2 … p ^ 2, eso es lo más simple sobre RH que desea saber, para obtener más explicación: cuando x entre p ^ 2 elija p inferior para mod (x, po) / po que equivale a 1 / po cuando x es igual al primo grande infinito de Euclides de múltiplo de todos los primos más 1, que es la suma total es 1, que es la suma total del cero no trivial de la función zeta que corresponde al primo y es mod múltiple (x, p) = 0 uno por uno (es decir, el tamiz de Eratóstenes deja solo números primos infinitos) que igual al recíproco del producto de Euler se relacionan con la función zeta, x ^ (1/2) * x ^ (ti ) = x ^ (1/2 + ti), eso es RH.

Answer 7

¿Qué significa la hipótesis de Riemann (RH)?

RH confirma la existencia de números primos de manera óptima. O más bien, para todos los enteros positivos, k> 1, existe un número primo, p, que divide k de manera que p = k o p ≤ sqrt (k) = k ^ (1/2) donde RH indica el exponente de k es 1/2.

Tenga en cuenta ese hecho fundamental cuando discuta la verdad de RH.

Enlaces de referencia:

https://www.researchgate.net/pos … ;

https://www.researchgate.net/pos… .

Answer 8

En términos simples: –

La hipótesis de Raymann es que existe una función f (x) [que solo puede entenderse si ha estudiado la diferenciación e integración en las clases 11 y 12] llamada “función zeta de raymann”, de modo que la función tiene valor cero i. e el valor que pones en la función zeta de raymann para obtener cero como respuesta, por lo que el valor que vas a poner en la función zeta de raymann solo puede ser negativo, incluso números enteros como – 2, -14, -6, etc., etc. Hipótesis completa de Raymann