Dado coprime [matemática] a, b, c [/ matemática] con [matemática] a ^ 2, b ^ 2, [/ matemática] y [matemática] c ^ 2 [/ matemática] en progresión aritmética con diferencia común [matemática] d [/ math] , ¿puede probar (o encontrar un contraejemplo) que [math] a ^ 2 [/ math] y [math] c ^ 2 [/ math] son equivalentes a [math] 1 [/ math] o [matemáticas] 49 [/ matemáticas] mod [matemáticas] 240 [/ matemáticas] y que [matemáticas] b [/ matemáticas] es equivalente a [matemáticas] 1 [/ matemáticas] mod [matemáticas] 4 [/ matemáticas] ?
Todas estas preguntas se relacionan con el famoso problema del congruum. [1] Es interesante que pueda tener fácilmente tres cuadrados perfectos en progresión aritmética (pero nunca cuatro) [2] [3] y que el primero y el último de estos tres cuadrados deben tener residuos 1 o 49 (mod 240).
Permítanme resumir aquí algunos de los resultados de este maravilloso tema …
Dado que [matemática] a, b, c [/ matemática] son coprimos, y [matemática] a ^ 2, b ^ 2, [/ matemática] y [matemática] c ^ 2 [/ matemática] están en progresión aritmética con diferencia común [matemáticas] d = b ^ 2-a ^ 2 = c ^ 2-b ^ 2 [/ matemáticas], demostraré los siguientes factores:
- ¿Cuál es el resto cuando 128 ^ 1000 se divide por 153?
- ¿Cuál es el resto cuando 84 a la potencia 79 se divide por 100?
- ¿Qué es 67 ^ 77 mod 16?
- Considere los enteros pares devueltos por la función totient de Euler enumerados en orden. ¿Hay alguna brecha?
- ¿Cuándo es [matemáticas] (3 ^ a-2 ^ a) / (3 ^ a-2 ^ b) [/ matemáticas] un valor entero?
[matemáticas] \ qquad \ bullet ~~ d \ equiv 0 \ pmod {24} [/ matemáticas] ;
[matemáticas] \ qquad \ bullet ~~ a, c \ equiv \ pm 1 \ pmod 8 [/ matemáticas] ;
[matemáticas] \ qquad \ bullet ~~ b \ equiv 1 \ pmod 4 [/ matemáticas] ;
[matemáticas] \ qquad \ bullet ~~ a ^ 2, c ^ 2 \ equiv 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] 49 \ pmod {240} [/ matemáticas] ;
[matemáticas] \ qquad \ bullet ~~ b ^ 2 \ equiv 1, 25, [/ matemáticas] o [matemáticas] 49 \ pmod {120} [/ matemáticas] ;
[matemáticas] ~ [/ matemáticas]
Espero que disfrutes de estas pequeñas pruebas, y me encantaría ver otras (más simples, más elegantes, o de otra manera diferentes o mejores), o una crítica (constructiva) de todo lo que ves aquí que está mal o que no funciona. respuestas a la pregunta original o en los comentarios, o como sugerencias de edición. ¡Gracias!
[matemáticas] ~ [/ matemáticas]
[math] \ large {\ bullet ~~ \ text {Probar:} ~~ d \ equiv 0 \ pmod {24}} [/ math]
[math] a, b, c [/ math] son números coprimos, por lo tanto, [math] a ^ 2, b ^ 2, c ^ 2 [/ math] son números coprimos y [math] b ^ 2-a ^ 2 = c ^ 2-b ^ 2 [/ math] por lo que deben ser coprime por pares, entonces [math] a, b, c [/ math] son coprime por pares. Por lo tanto, a lo sumo uno es par. Pero si uno de ellos es par [math] a ^ 2, b ^ 2, c ^ 2 [/ math] será [math] 1,1,0 \ pmod 4 [/ math] en un orden que haría que [ matemática] b ^ 2-a ^ 2 \ neq c ^ 2-b ^ 2 [/ matemática], entonces [matemática] a, b, c [/ matemática] son todos impares.
[math] a, b, c [/ math] son pares coprimos, por lo que uno de ellos puede ser un múltiplo de [math] 3 [/ math]. Pero si uno de ellos es un múltiplo de [matemáticas] 3 [/ matemáticas], entonces los residuos [matemáticas] \ pmod 3 [/ matemáticas] de [matemáticas] a ^ 2, b ^ 2, c ^ 2 [/ matemáticas] serían [matemática] 1,1,0 [/ matemática] en un orden que haría que [matemática] b ^ 2-a ^ 2 \ neq c ^ 2-b ^ 2 [/ matemática], entonces ninguno de [matemática] a, b, c [/ math] son divisibles por [math] 3 [/ math].
Como [math] a, b, c [/ math] son impares, sus cuadrados son [math] \ equiv 1 \ pmod 8 [/ math]. Como [math] a, b, c [/ math] no son divisibles por [math] 3 [/ math], sus cuadrados son [math] \ equiv 1 \ pmod 3 [/ math]. Por lo tanto, [matemática] a ^ 2, b ^ 2, c ^ 2 [/ matemática] son todas [matemática] \ equiv 1 \ pmod {24} [/ matemática], entonces su diferencia común, [matemática] d [/ matemática] , es un múltiplo de [matemáticas] 24 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
[matemáticas] ~ \\\ large {\ bullet ~~ \ text {Probar:} ~~ a, c \ equiv \ pm 1 \ pmod 8 ~~ \ text {y} ~~ b \ equiv 1 \ pmod 4} [ /matemáticas]
Primero, un pequeño y pequeño lema: si [matemática] a, c [/ matemática] son impares y coprimos, entonces [matemática] \ frac {ca} {2} [/ matemática] y [matemática] \ frac {c + a} { 2} [/ math] son enteros coprimos de paridad opuesta, es decir , uno es par y el otro es impar.
Prueba: [matemática] \ frac {ca} {2} [/ matemática] y [matemática] \ frac {c + a} {2} [/ matemática] son números enteros porque la suma y la diferencia de dos números impares son pares. Si [matemática] p [/ matemática] divide tanto [matemática] \ frac {ca} {2} [/ matemática] como [matemática] \ frac {c + a} {2} [/ matemática] entonces [matemática] p [ / math] divide su diferencia, [math] a [/ math] y su suma, [math] c. [/ math] Pero [math] a [/ math] y [math] c [/ math] son números coprimos, entonces [matemática] p = 1 [/ matemática], por lo tanto, [matemática] \ frac {ca} {2} [/ matemática] y [matemática] \ frac {c + a} {2} [/ matemática] son números coprimos. Si [math] \ frac {ca} {2} [/ math] y [math] \ frac {c + a} {2} [/ math] tenían la misma paridad, su diferencia, [math] a [/ math] , y su suma, [math] c [/ math], ambos serían pares, pero de hecho [math] a [/ math] y [math] c [/ math] son impares, entonces [math] \ frac {ca } {2} [/ math] y [math] \ frac {c + a} {2} [/ math] tienen paridad opuesta. [Math] \ square [/ math]
Ahora, para la prueba en sí, encontraremos un triple pitagórico primitivo, [matemáticas] (A, B, C) [/ matemáticas] al acecho en la progresión aritmética de cuadrados [matemáticas] a ^ 2, b ^ 2, c ^ 2, [/ math] y utilice los “parámetros de generación” [math] r, s [/ math] del triple pitagórico para expresar [math] a, b, [/ math] y [math] c, [/ math] demostrando las congruencias.
Si [matemática] a, b, c [/ matemática] son números coprimos pares e impares, y [matemática] b ^ 2-a ^ 2 = c ^ 2-b ^ 2 [/ matemática], entonces deje que [matemática] A, B = \ frac {ca} {2}, \ frac {c + a} {2}, [/ math] en cualquier orden que haga [math] A [/ math] impar y [math] B [/ math] par, (el pequeño y pequeño lema dice que puedes hacer esto) y deja que [math] C = b [/ math].
[matemáticas] \ begin {align} A ^ 2 + B ^ 2 & = \ left (\ frac {ca} {2} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {c + a} {2} \ right) ^ 2 \\ & = \ frac {c ^ 2} {2} + \ frac {a ^ 2} {2} \\ & = b ^ 2 \\ & = C ^ 2, \ end {align} [/ math]
[matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] son coprimos por el pequeño y pequeño lema, y dado que [matemática] A ^ 2 + B ^ 2 = C ^ 2 [/ matemática], [matemática] A , B, C [/ math] son, por lo tanto, coprimos por pares. Por lo tanto, [matemáticas] (A, B, C) [/ matemáticas] es un triple pitagórico primitivo. Esto significa que hay enteros positivos coprimos de paridad opuesta [matemática] r, s [/ matemática] con [matemática] r \ gt s [/ matemática] tal que [matemática] A = r ^ 2-s ^ 2, B = 2rs , [/ math] y [math] C = r ^ 2 + s ^ 2 [/ math].
Ahora, expresando [matemáticas] a, b, [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] r [/ matemáticas] y [matemáticas] s [/ matemáticas],
[matemáticas] \ qquad a = | BA | = | 2rs + (s ^ 2-r ^ 2) | = | (r + s) ^ 2–2r ^ 2 | [/ matemáticas]
[matemáticas] \ qquad b = C = r ^ 2 + s ^ 2 = (r + s) ^ 2–2rs [/ matemáticas]
[matemáticas] \ qquad c = B + A = 2rs + (r ^ 2-s ^ 2) = (r + s) ^ 2–2s ^ 2 [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemática] a [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] son cada una igual al valor absoluto de la diferencia entre el cuadrado de un número impar [matemática] (\ equiv 1 \ pmod 8) [/ matemática] y dos veces un cuadrado [math] (\ equiv 2 \ text {or} 0 \ pmod 8), [/ math] entonces [math] a, c \ equiv \ pm 1 \ pmod 8. [/ math]
Y [matemática] b [/ matemática] es igual al cuadrado de un número impar [matemática] (\ equiv 1 \ pmod 4) [/ matemática] menos un múltiplo de [matemática] 4 [/ matemática], entonces [matemática] b \ equiv 1 \ pmod 4. \ blacksquare [/ math]
[matemáticas] ~ \\\ grande {\ bullet ~~ \ text {Probar:} ~~ a ^ 2, c ^ 2 \ equiv 1 \ text {o} 49 \ pmod {240}} [/ math]
Como [math] a ^ 2, c ^ 2 [/ math] son equivalentes a [math] 1 \ pmod {24} [/ math], son equivalentes a uno de
[matemáticas] 1, 25, 49, 73, 97, -119, -95, -71, -47, -23 \ pmod {240}. \ tag {1} [/ matemáticas]
[matemática] a, b, c [/ matemática] son pares coprimos, por lo que uno de ellos puede ser un múltiplo de [matemática] 5 [/ matemática]. Pero si uno de ellos es un múltiplo de [matemática] 5 [/ matemática], entonces los residuos [matemática] \ pmod 5 [/ matemática] de [matemática] a ^ 2, b ^ 2, c ^ 2 [/ matemática] be [math] \ pm 1, \ pm 1, 0 [/ math] en algún orden. Como [math] b ^ 2-a ^ 2 = c ^ 2-b ^ 2 [/ math], los únicos órdenes posibles de los residuos [math] \ pmod 5 [/ math] de [math] a ^ 2, b ^ 2, c ^ 2 [/ math] son [math] -1,0,1 [/ math] y [math] 1,0, -1 [/ math]. Por lo tanto, ni [matemáticas] a [/ matemáticas] ni [matemáticas] c [/ matemáticas] es un múltiplo de [matemáticas] 5 [/ matemáticas].
Ahora podemos eliminar [matemáticas] 25 [/ matemáticas] y [matemáticas] -95 [/ matemáticas], así que ahora sabemos que
[matemáticas] a ^ 2, c ^ 2 \ equiv 1, 49, 73, 97, -119, -71, -47, \ text {o} -23 \ pmod {240}. \ tag {2} [/ math ]
Como [matemáticas] a, c \ equiv \ pm 1 \ pmod 8 [/ matemáticas], se sigue que
[matemáticas] a ^ 2, c ^ 2 \ equiv 1, 49, 81, -111, -95, \ text {o} -15 \ pmod {240}. \ tag {3} [/ matemáticas]
Intersección de conjuntos de residuos [matemática] (2) [/ matemática] y [matemática] (3) [/ matemática] nos dice [matemática] a ^ 2, c ^ 2 = 1 \ text {o} 49 \ pmod {240} [ /mathfont>.[mathfont>\blacksquare[/math]
[matemáticas] ~ \\\ large {\ bullet ~~ \ text {Probar:} ~~ b ^ 2 \ equiv 1, 25, \ text {o} 49 \ pmod {120}} [/ math]
Dividámoslo en cuatro casos:
Si [matemática] a ^ 2 \ equiv 1 [/ matemática] y [matemática] c ^ 2 \ equiv 1 \ pmod {240} [/ matemática] entonces [matemática] 2b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 \ equiv 2 \ pmod {240} [/ math], entonces [math] b ^ 2 \ equiv 1 \ pmod {120} [/ math].
Si [matemática] a ^ 2 \ equiv 1 [/ matemática] y [matemática] c ^ 2 \ equiv 49 \ pmod {240} [/ matemática] entonces [matemática] 2b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 \ equiv 50 \ pmod {240} [/ math], entonces [math] b ^ 2 \ equiv 25 \ pmod {120} [/ math].
Si [matemática] a ^ 2 \ equiv 49 [/ matemática] y [matemática] c ^ 2 \ equiv 1 \ pmod {240} [/ matemática] entonces [matemática] 2b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 \ equiv 50 \ pmod {240} [/ math], entonces [math] b ^ 2 \ equiv 25 \ pmod {120} [/ math].
Si [matemática] a ^ 2 \ equiv 49 [/ matemática] y [matemática] c ^ 2 \ equiv 49 \ pmod {240} [/ matemática] entonces [matemática] 2b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 \ equiv 98 \ pmod {240} [/ math], entonces [math] b ^ 2 \ equiv 49 \ pmod {120} [/ math]. [Math] \ blacksquare [/ math]
Notas al pie
[1] Congruum – Wikipedia
[2] No hay cuatro cuadrados en progresión aritmética
[3] http://shrek.unideb.hu/~tengely/…