Sería útil recordar cuál es la función phi:
[matemáticas] \ phi \ left (p_1 ^ {n_1} \ cdots p_s ^ {n_s} \ right) = \ left (p_1 ^ {n_1 – 1} \ right) \ left (p_1 – 1 \ right) \ cdots \ left (p_s ^ {n_s – 1} \ right) \ left (p_s – 1 \ right) [/ math]
[matemática] p_1 ^ {n_1} \ cdots p_s ^ {n_s} [/ matemática] es la factorización prima del entero (positivo) cuya [matemática] \ phi [/ matemática] se está tomando, entonces [matemática] p_1, \ cdots, p_s [/ math] son primos distintos y [math] n_1, \ cdots, n_s [/ math] son enteros positivos.
Por ejemplo:
- ¿Cuándo es [matemáticas] (3 ^ a-2 ^ a) / (3 ^ a-2 ^ b) [/ matemáticas] un valor entero?
- ¿Cuál es el resto cuando 17 ^ 17 ^ 17 ^ 17 se divide por 100?
- ¿Es posible explicar la conjetura de Riemann a un laico?
- Dos enteros positivos a y b son tales que a + b = a / b + b / a. ¿Cuál es el valor de a ^ 2 + b ^ 2?
- ¿Cómo pruebo que la suma de todos los números que son menores que ‘n’ y son primos para ‘n’, son iguales a ‘n’? ‘n’ es cualquier número natural.
[matemáticas] \ phi (360) = \ phi \ left (\ left (2 ^ 3 \ right) \ left (3 ^ 2 \ right) \ left (5 ^ 1 \ right) \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ left (2-1 \ right) \ left (2 ^ {3-1} \ right) \ left (3-1 \ right) \ left (3 ^ {2-1} \ right) \ left (5-1 \ derecha) \ izquierda (5 ^ {1-1} \ derecha) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ left (1 \ right) \ left (4 \ right) \ left (2 \ right) \ left (3 \ right) \ left (4 \ right) \ left (1 \ right) [/ math]
[matemáticas] = 96 [/ matemáticas]
Ahora, uno puede aumentar [matemática] \ phi (n) [/ matemática] por un factor de [matemática] 2 [/ matemática], simplemente multiplicando [matemática] n [/ matemática] por [matemática] 2 [/ matemática] o por [math] 4 [/ math], por lo que si falta un valor par [math] \ phi [/ math], falta un valor [math] \ phi [/ math] que sea solo par (eso es , eso es par pero no divisible por [matemáticas] 4 [/ matemáticas]). Cualquier valor individualmente [matemático] \ phi (n) [/ matemático] no se representará mediante un [matemático] n [/ matemático] que sea divisible por [matemático] 4 [/ matemático], excepto [matemático] \ phi (4) = 2 [/ math], porque el multiplicador [math] 4 = 2 ^ 2 [/ math] (o una potencia mayor de [math] 2 [/ math]) contribuye con un factor de [math] 2 [/ math] a [math] \ phi (n) [/ math], y cualquier otro factor primo, cualquiera que sea, contribuye con otro factor par a [math] \ phi (n) [/ math]. De hecho, si una sola [matemática] \ phi (n) [/ matemática] está representada por una [matemática] n [/ matemática] par, entonces, también, [matemática] \ phi \ izquierda (\ frac {n} {2} \ right) = \ phi (n) [/ math], ya que el factor único de [math] 2 [/ math] solo contribuye con un factor de [math] 2 – 1 = 1 [/ math] a [math ] \ phi (n) [/ math]. Por lo tanto, para buscar solo [math] \ phi (n) [/ math], solo es necesario pasar por el [math] n [/ math] impar.
Entonces, para tener una idea de lo que se necesita para lograr un determinado par [math] \ phi (n) [/ math] de un impar [math] n [/ math], a continuación se muestra una tabla.
[matemáticas] n \ quad \ phi (n) [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 \ quad 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 5 \ quad 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] 7 \ quad 6 [/ matemáticas]
[matemáticas] 9 \ quad 6 [/ matemáticas]
[matemáticas] 11 \ quad 10 [/ matemáticas]
[matemáticas] 13 \ quad 12 [/ matemáticas]
[matemáticas] 15 \ quad 8 [/ matemáticas]
[matemáticas] 17 \ quad 16 [/ matemáticas]
[matemáticas] 19 \ quad 18 [/ matemáticas]
[matemáticas] 21 \ quad 12 [/ matemáticas]
[math] 14 [/ math] parece faltar, por lo tanto, es una buena idea ver si realmente falta o si hay un número mayor, cuyo [math] \ phi [/ math] es [math] 14 [/ matemáticas]. Bueno, si [math] \ phi (n) [/ math] es [math] 14 [/ math], entonces un factor primo [math] 7 [/ math] debe estar en [math] \ left (p_1 ^ { n_1 – 1} \ right) \ left (p_1 – 1 \ right) \ cdots \ left (p_s ^ {n_s – 1} \ right) \ left (p_s – 1 \ right) [/ math]. En otras palabras, al menos uno de los [matemáticos] \ left (p_1 ^ {n_1 – 1} \ right), \ cdots, \ left (p_1 ^ {n_1 – 1} \ right) [/ math], o al menos uno de los [math] \ left (p_1 – 1 \ right), \ cdots, \ left (p_s – 1 \ right) [/ math] es divisible por [math] 7 [/ math]. Los únicos valores posibles para tal factor son [matemática] 7 [/ matemática] y [matemática] 14 [/ matemática], siendo todo lo demás demasiado grande para tener [matemática] \ phi (n) = 14 [/ matemática]. ¿Qué factor podría ser eso? Bueno, [matemática] p_r – 1 [/ matemática] podría ser [matemática] 7 [/ matemática] o [matemática] 14 [/ matemática], o [matemática] p_r ^ {n_r – 1} [/ matemática] podría ser [ matemática] 7 [/ matemática] o [matemática] 14 [/ matemática], porque [matemática] r [/ matemática] es uno de [matemática] 1, 2, \ cdots, s [/ matemática]. Ciertamente, [math] p_r – 1 [/ math] no es [math] 7 [/ math] ni [math] 14 [/ math], porque [math] p_r [/ math] tendría que ser [math] 8 [ / matemáticas] o [matemáticas] 15 [/ matemáticas]. En cuanto a [math] p_r ^ {n_r – 1} [/ math], eso es una potencia (posiblemente la potencia [math] 0 [/ math] th) de un primo, por lo que no puede ser [math] 14 [/ math ] ¿Puede ser [matemáticas] 7 [/ matemáticas]? Eso haría [math] p_r [/ math] igual a [math] 7 [/ math], pero luego, [math] p_r – 1 [/ math] sería [math] 6 [/ math], lo que pone un factor de [matemáticas] 3 [/ matemáticas] en [matemáticas] \ phi (n) [/ matemáticas] que no está allí. Por lo tanto, [math] 14 [/ math] no es [math] \ phi (n) [/ math] para ningún entero positivo [math] n [/ math].
Por lo tanto, los enteros pares devueltos por la función totient de Euler dejan al menos un espacio, en [math] 14 [/ math].