¿Qué es 67 ^ 77 mod 16?

Answer 1

Este número parece imposible, pero en realidad no lo es. Tiene solo 141 dígitos, no coincide con Wolfram | Alpha (wolframalpha.com) Aquí está el número en sí.

Y aunque desde allí podría copiarlo, dividirlo, restarlo a un decimal y multiplicarlo por dieciséis, decidí escribir su pregunta directamente en Wolfram | Alpha

Entonces ahí lo tienes. Tres. Es casi seguro que hay un truco para hacer esto, pero no veo ningún uso práctico (además de quizás un buen truco de fiesta) para hacer esto a un número mayor que Wolfram | Alpha puede ingresar.

Pero espera, al tratar de encontrar el número más grande, encontré el truco. Es un ciclo. 3, 9, 11, 1, enjuague, repita. 77 mod 4 es 1, por lo que la respuesta es el primer número, que es 3.

Por cierto, el límite para el número exacto está en algún lugar entre 67 ^ 10000 y 67 ^ 100000, aunque sospecho que Wolfram conoce el truco y puede modificar efectivamente infinitamente.

Espero que esto ayude

Answer 2

Déjame intentar responder a mi manera.

Dividiendo 67 como 64 + 3 (como 64 es múltiplo de 16)

es decir (64 + 3) ^ 77

(a + b) n = nC0an + nC1an − 1b + nC2an − 2b2 + nC3an − 3b3 +… + nCnbn

Si aplica la expansión binomial como anteriormente para (64 + 3) ^ 77, el único término que deja un recordatorio es 3 ^ 77. (todos los demás términos contienen 64 que es divisible por 16)

Entonces, nuestra tarea es limitada para encontrar 3 ^ 77 mod 16.

3 ^ 77/16 = (81 ^ 19) x 3/16

es decir ((80 + 1) ^ 19) x3 / 16

Del mismo modo, al aplicar la expansión binomial de (80 + 1) ^ 19), el único término que deja un resto es 1.

Nuevamente nuestra tarea se simplifica a (1 × 3) mod 16

es decir 3.

Answer 3

67 ^ 77 = (16 x 4 + 3) ^ 77 mod 16, que es igual a 3 ^ 77 mod 16

entonces 3 ^ 77 = (2 + 1) ^ 77, puedes usar el teorema binomial para expandirlo,

observe que 16 = 2 ^ 4, entonces, (2 + 1) ^ 77 = 1 + 77 x 2 + 77 x 76/2 x 2 ^ 2 + 77 x 76 x 75/3/2/1 x 2 ^ 3 + 2 ^ 4 x (lo que sea) mod 16 = 1 + 77 x 2 + 77 x 76/2 x 2 ^ 2 + 77 x 76 x 75/3/2/1 x 2 ^ 3 mod 16 = 1 + 77 x 2 + 8 mod 16 = 3

Answer 4

[matemáticas] 67 ^ {77} \ equiv 3 ^ {77} \ equiv (3 ^ 4) ^ {19} * 3 ^ 1 \ equiv 81 ^ {19} * 3 \ equiv 1 ^ {19} * 3 \ equiv 3 \ space (mod \ space 16) [/ math]

más sobre modificaciones: Arte de resolución de problemas

…

Answer 5

67 ^ 77≅3 ^ 77 (mod 16)

3 ^ 77≅ (3 ^ 4) ^ 19 × 3 (mod 16)

3 ^ 77≅1 ^ 19 × 3 (mod 16)

3 ^ 77≅3 (mod 16)

Por lo tanto 67 ^ 77≅3 (mod 16)

Answer 6

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ phi (16) = 16 \ left (1- \ frac 12 \ right) = 8} \ tag * {} [/ math]

[math] \ text {Dado que 67 es coprimo con 16, según el teorema de Euler (totient) tenemos} [/ math]

[matemáticas] 67 ^ 8 \ equiv 1 \ mod 16 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 ^ {72} \ equiv 1 \ mod 16 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] 67 ^ {77} \ equiv 67 ^ 5 \ equiv 3 ^ 5 \ equiv 3 \ mod 16 \ tag * {} [/ matemáticas]