Cómo encontrar todos los pares (m, n) de enteros no negativos para los cuales [matemática] m ^ 2 + 2 \ cdot {3 ^ n} = m (2 ^ {n + 1} -1) [/ matemática]

Answer 1

Trabajé por un tiempo en esto, pero desafortunadamente, parece que no puedo llegar a una respuesta definitiva. Mostraré lo que he hecho hasta ahora, y espero que usted u otra persona puedan hacer algo con lo que aún no he pensado.

Mi enfoque es resolver [matemáticas] m [/ matemáticas] completando el cuadrado.

[matemáticas] \ displaystyle m ^ 2- \ left (2 ^ {n + 1} -1 \ right) m + 2 \ cdot3 ^ n = 0 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {\ left (m- \ frac {2 ^ {n + 1} -1} {2} \ right)} ^ 2 = {\ left (\ frac {2 ^ {n + 1} -1 } {2} \ right)} ^ 2-2 \ cdot3 ^ n [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle m = \ frac {2 ^ {n + 1} -1} {2} \ pm \ sqrt {{\ left (\ frac {2 ^ {n + 1} -1} {2} \ right )} ^ 2-2 \ cdot3 ^ n} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle m = 2 ^ n- \ frac {1} {2} \ pm \ frac {1} {2} \ sqrt {{\ left (2 ^ {n + 1} -1 \ right)} ^ 2-8 \ cdot3 ^ n} [/ matemáticas]

Notamos que [math] m [/ math] es un entero positivo solo si la expresión debajo del radical es un entero positivo impar. También notamos que la expresión bajo el radical siempre es extraña, por lo que solo tenemos que preocuparnos de que sea un cuadrado perfecto.

Desafortunadamente, parece que no puedo pasar este paso; es decir, no he podido probar para qué [matemática] n [/ matemática] la ecuación [matemática] k ^ 2 = {\ left (2 ^ {n + 1} -1 \ right)} ^ 2-8 \ cdot3 ^ n [/ math] es verdadero, [math] k \ in \ mathbb {Z} [/ math].

Algunos análisis muestran que [math] n \ geq3 [/ math], y no hay límite superior en [math] n [/ math] (como resultado de formar valores negativos de [math] m [/ math], al menos ) porque la [matemática] 2 ^ n [/ matemática] fuera del radical crece más rápido que la expresión radical.

Las únicas soluciones que he encontrado a través de prueba y error son [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] n = 5 [/ matemáticas], y probé valores hasta [matemáticas] n = 50 [/ matemáticas] usando Un simple programa de Python que escribí. Por lo tanto, tenemos cuatro [math] (m, n) [/ math] pares hasta ahora: [math] (6,3); (9,3); (9,5); [/ math] y [math] ( 54,5) [/ matemáticas].

Me encantaría ver a alguien encontrar una prueba para cualquier otra solución o para la singularidad de las soluciones que he encontrado.

Actualizar:

He reducido las posibilidades de todo [math] n \ geq3 [/ math] a impar [math] n \ geq3 [/ math]. Esto se debe a que descubrí que la expresión debajo del radical tiene un patrón cíclico en su último dígito.

Específicamente, para [matemáticas] n = 4k + 3, 4k + 4, 4k + 5, [/ matemáticas] y [matemáticas] 4k + 6; k \ geq0 [/ math], el último dígito es [math] 9, 3, 5, [/ math] y [math] 7 [/ math], respectivamente. Los cuadrados perfectos impares solo pueden tener un último dígito de [matemática] 1, 5, [/ matemática] o [matemática] 9 [/ matemática], por lo que solo estamos interesados ​​en [matemática] n = 4k + 3, 4k + 5 [ / math], que corresponde a impar [math] n \ geq3 [/ math].