¿Cuál es la menor [matemática] n [/ matemática] de modo que la expansión decimal de [matemática] \ frac {m} {n} [/ matemática] tenga un período superior a 100 para enteros positivos [matemática] m [/ matemática] y [matemáticas] n [/ matemáticas]?

Answer 1

Recordatorio para todos los interlocutores de Quora: cuando haga preguntas, sea tan claro como sea posible e incluya un ejemplo en los detalles y cómo obtuvo esa respuesta. Cuando haces esto, es más probable que obtengas excelentes respuestas. Mientras tanto, miraré la nueva pregunta.

¿Cuál es el mínimo n tal que la expansión decimal de [frac] {1} {n} [/ math] tenga un período superior a 100 para los enteros positivos myn?

Gracias. Su nueva pregunta tiene más sentido que la original, que dejé al final. Esto ilustra por qué debemos ser tan claros como podemos ser con nuestras preguntas, ya que no todos usamos ciertas palabras siempre de la misma manera.

Si desea un método muy detallado para encontrar la respuesta a su pregunta, vea la excelente respuesta de Amitabha Tripathi, que cubre mucho terreno, más de lo que estoy dispuesto a discutir.

Sin embargo, si está interesado en un método de prueba y error, y tiene una calculadora gráfica TI-84 PLUS CE (o similar), he escrito un programa que puede usar para buscar estos denominadores y períodos.

Usted ya sabe que la fracción [matemáticas] \ frac17 [/ matemáticas] es un buen primer ejemplo de su “período”. El decimal decimal 0.142857142857 … tiene un período de 6, lo que significa que podemos asegurarnos de que nuestro programa de prueba encuentre esa respuesta.

NOTA: He revisado su pregunta para ver solo las fracciones de la forma [math] \ frac {1} {n} [/ math] porque si un numerador conduce a un período de z , también lo harán otros numeradores hasta n-1 .

Aquí está mi “pequeño” programa. Me tomó varias horas escribir porque seguía cometiendo errores lógicos, pero finalmente pude hacerlo funcionar. Me ayudó saber que mis dos primeras respuestas tenían que ser 1 y 6 para las fracciones 1/3 y 1/7.

Arriba, lo ve todo aplastado para que aparezca en mi pantalla a la vez.

Así es como funciona el programa:

ClrHome borra la pantalla (declaración opcional)
0 → B mejor (más largo) período encontrado hasta ahora
1 → Un valor para el denominador a evaluar
Lbl Una línea comienza el ciclo para un nuevo denominador
0 → C recuento de cuántos dígitos en el período
A + 2 + 2 (3 = resto (A, 5)) → A
A + 2 (solo necesitamos verificar números impares)
+2 (3 = resto (A, 5)) será VERDADERO (2) si el próximo número
es múltiplo de 5. Cuando es verdadero, omita el siguiente número impar
1 → D Numerador inicial para fracción
seq (0, Z, 1, A) → L1 Matriz de residuos utilizados hasta ahora
La línea Lbl D comienza el ciclo para verificar si
el nuevo resto ha ocurrido todavía
Si L1 (D): Entonces, si el resto se utilizó anteriormente, entonces
Si B <C-L1 (D): Entonces, si el período (C-L1 (D)) es más largo que el mejor, entonces
C-L1 (D) → B Almacenar el nuevo mejor (más largo) período en B
Disp {B, A} Mostrar resultado más reciente
Fin Fin del bloque de período más largo
Goto A Goto Line para nuevo denominador
Fin Fin del resto del bloque utilizado anteriormente
C → L1 (D) Almacenar la duración del período actual en la matriz restante
C + 1 → C incrementa el recuento de períodos
int (10D / A → E calcula el siguiente dígito del divisor
10D-EA → D calcular el nuevo resto
Goto D goto etiqueta para verificar el resto

Aquí están las primeras respuestas que encontró (eliminé la declaración ClrHome cuando ejecuté esta imagen de muestra):

Como sabemos que es correcto según las primeras respuestas, sabemos que seguirá funcionando.

Es posible que pueda mejorar el programa rechazando todos los números compuestos. Supongo que el período de un número compuesto siempre será menor que el mejor período encontrado hasta ahora, pero no lo sé con certeza.

Desafíate a ti mismo para aprender algo de programación en tu calculadora. Te será útil en alguna ocasión en el futuro.

PREGUNTA ORIGINAL:
¿Cuál es el valor mínimo de m tal que la función (sin (mx)) tenga un período de al menos 100?

¿Tienes una calculadora gráfica? Puede hacer que este tipo de problema sea más fácil de jugar. Usaré una calculadora gráfica TI-84 PLUS CE para responder esta pregunta:

¿PRUEBA Y ERROR?

• Presione la tecla MODE y asegúrese de que su calculadora esté en modo FUNCIÓN usando mediciones RADIAN.
• Tracemos la función y = sin (x) con la configuración de ventana x = 0 a 100 e y = -4 a 4:

• Cuento dieciséis ciclos, por lo que parece que tenemos alrededor de 16 períodos por cada 100, así que veamos qué sucede si graficamos y = sin (16x)
• Voy a dejarte trazar y = sin (16x) en papel. Mi calculadora me dio un gráfico que sabía que estaba mal. (Mostró nueve ciclos, donde sabía que deberían haber sido MUCHOS ciclos).
• Si intenta graficarlo, amplíe el gráfico y vea qué sucede con los ciclos.
• Obviamente, esta era la dirección equivocada, así que intentemos graficar y = sin (x / 16):

• Ahora, nos estamos acercando a una respuesta. ¿Podemos encontrar una mejor respuesta?
• Nuestro período es de 100 y vimos 16 ciclos
• Dividimos x / 16 en nuestra función
• ¿Qué número común, importante en trigonometría, es aproximadamente igual a 100/16 ?
• 100/16 = 6.25
• No, no estamos buscando la fracción simplificada [matemática] \ frac {25} {4} [/ matemática]
• Sí, el número común es irracional.
• Usamos mucho ese número con círculos, especialmente con circunferencias y radios.
• Lo tienes … puedo ver la mirada en tus ojos …
• → 2π = 6.28318530 …
• Quizás nuestra función original sin (x) tiene ciclos [matemáticos] \ frac {100} {2π} [/ matemáticos] o [matemáticos] \ frac {50} {π} [/ matemáticos]
• Si trazas la función
• y = sin ([matemáticas] \ frac {πx} {50} [/ matemáticas]
• verá un ciclo que tiene exactamente 100 unidades de largo
• ¿Por qué es esto cierto?
• El ciclo de la onda sinusoidal estándar ( sin (x) ) es igual a 2π unidades de longitud
• Si quisiéramos un ciclo de una unidad de longitud, podríamos usar sin (2πx)
• cualquiera que sea que multipliquemos por x, la longitud se acorta por el inverso de ese número. ([matemáticas] 2π · \ frac {1} {2π} [/ matemáticas] = 1
• Una forma de obtener nuestra longitud de 100 es:
• multiplicar por 2π lo que hace que la duración del ciclo = una unidad
• dividir por 100 lo que hace que la duración del ciclo = 100
• Aprenderá más sobre esto en Trigonometría y Cálculo

CRÉDITO ADICIONAL

• ¿Cuál es el valor mínimo de m tal que la función (sin² (m · x)) tenga un período de al menos 100?

Answer 2

He combinado la teoría con la computación para llegar a esta solución algo larga.

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Para que la expansión decimal de [math] \ frac {m} {n} [/ math] no termine [math] ([/ math] y, por lo tanto, tenga una expansión recurrente [math]) [/ math], es necesario y suficiente que [math] \ gcd (n, 10) = 1 [/ math].

También sabemos que para [math] n [/ math] tal que [math] \ gcd (n, 10) = 1 [/ math], la longitud [math] \ ell [/ math] del período es la más positiva entero para el que [matemáticas] n \ mid (10 ^ {\ ell} -1) [/ matemáticas], y que [matemáticas] \ ell \ mid \ phi (n) [/ matemáticas].

Recuerde que [math] \ phi (n) = n \ prod_ {p \ mid n} \ left (1- \ frac {1} {p} \ right) [/ math], y en particular, que [math] \ phi (p) = p-1 [/ matemática].

Como [math] 101 [/ math] es primo , [math] \ phi (101) = 100 [/ math], y entonces [math] \ phi (n) \ le n-1 \ le 100 [/ math] para todo [matemáticas] n \ le 101 [/ matemáticas]. Entonces, para que la duración del período [matemáticas] \ ell> 100 [/ matemáticas], debemos tener [matemáticas] n> 101 [/ matemáticas].

Si [math] n [/ math] es compuesto , entonces

[matemáticas] \ phi (n) = n \ prod_ {p \ mid n} \ left (1- \ frac {1} {p} \ right) \ le n \ left (1- \ frac {1} {2} \ right) = \ frac {n} {2} [/ math].

Entonces, si [math] n [/ math] composite y [math] \ phi (n)> 100 [/ math], entonces [math] n> 202 [/ math].

Por lo tanto, el valor más pequeño de [math] n [/ math], si [math] \ le 202 [/ math], debe ser un primo entre [math] 103 [/ math] y [math] 199 [/ math], ambos inclusivo.

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Recuerde que el símbolo Legendre [matemática] \ izquierda (\ frac {a} {p} \ derecha) [/ matemática], definido para primo [matemática] p> 2 [/ matemática], viene dado por

[matemáticas] \ begin {cases} 0, & p \ mid a; \\ +1, & p \ nmid a, x ^ 2 \ equiv a \ bmod {p} \: \ text {tiene una solución}; \\ -1, & p \ nmid a, x ^ 2 \ equiv a \ bmod {p} \: \ text {no tiene solución}. \ end {cases} [/ math]

y eso

• [matemáticas] \ left (\ frac {a} {p} \ right) = \ left (\ frac {b} {p} \ right) [/ math] if [math] a \ equiv b \ bmod {p} [ /matemáticas]
• [matemática] \ left (\ frac {a} {p} \ right) \ equiv a ^ {(p-1) / 2} \ bmod {p} [/ math]
• [matemáticas] \ left (\ frac {ab} {p} \ right) = \ left (\ frac {a} {p} \ right) \ left (\ frac {b} {p} \ right) [/ math]
• para primos distintos [matemática] p [/ matemática], [matemática] q [/ matemática], [matemática] \ left (\ frac {p} {q} \ right) = \ begin {cases} – \ left (\ frac {q} {p} \ right), & p \ equiv q \ equiv 3 \ bmod {4}, \\ \ left (\ frac {q} {p} \ right), y \ text {de lo contrario}. \ end {cases} [/ math]
• [matemáticas] \ left (\ frac {2} {p} \ right) = \ begin {cases} +1, & p \ equiv \ pm 1 \ bmod {8}, \\ -1, y p \ equiv \ pm 3 \ bmod {8}. \ end {cases} [/ math]

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De ahora en adelante, [math] n = p [/ math] sea primo . Recuerde que la duración del período de la expansión decimal es el número entero positivo más pequeño [math] \ ell [/ math] para el cual [math] p \ mid (10 ^ {\ ell} -1) [/ math], y nosotros sepa que [matemáticas] \ ell \ mid (p-1) [/ matemáticas].

Estamos buscando el menor valor de [math] p [/ math] para el cual [math] \ ell [/ math] [math] ([/ math] que depende de [math] p) [/ math] es igual a [ matemáticas] p-1 [/ matemáticas]. [matemática] ([/ matemática] Incidentalmente, Gauss conjeturó que hay infinitos números primos . [matemática]) [/ matemática] Si [matemática] \ ell números primos en este rango.

Para limitar la búsqueda de tales números primos , eliminamos esos números primos [math] p [/ math] para los cuales [math] p \ mid (10 ^ {(p-1) / 2} -1) [/ math] .

Observe que para prime [math] p \ ne 5 [/ math],

[matemáticas] \ left (\ frac {p} {5} \ right) = \ begin {cases} +1, & p \ equiv \ pm 1 \ bmod {5}; \\ -1, & p \ equiv \ pm 2 \ bmod {5}. \ end {cases} [/ math]

Ya que

[matemáticas] 10 ^ {(p-1) / 2} \ equiv \ left (\ frac {10} {p} \ right) = \ left (\ frac {2} {p} \ right) \ left (\ frac {5} {p} \ right) [/ math],

[matemática] 10 ^ {(p-1) / 2} \ equiv 1 \ bmod {p} [/ matemática] si y solo si [matemática] \ left (\ frac {2} {p} \ right) = \ left (\ frac {5} {p} \ right) [/ math].

Si cada uno es igual a [matemática] +1 [/ matemática], entonces [matemática] p \ equiv \ pm 1 \ bmod {8} [/ matemática] y [matemática] p \ equiv \ pm 1 \ bmod {5} [/ matemática ] Esto lleva a [math] p \ bmod {40} \ in \ {1,9,31,39 \} [/ math].

Si cada uno es igual a [matemática] -1 [/ matemática], entonces [matemática] p \ equiv \ pm 3 \ bmod {8} [/ matemática] y [matemática] p \ equiv \ pm 2 \ bmod {5} [/ matemática ] Esto lleva a [math] p \ bmod {40} \ in \ {3,13,27,37 \} [/ math].

Por lo tanto, la prima más pequeña que buscamos debe satisfacer

[matemática] p \ bmod {40} \ in \ {7,11,17,19,21,23,29,33 \} \ ldots (\ star) [/ math]

Los primeros cuatro números primos que exceden [matemáticas] 101 [/ matemáticas] y pertenecen a este conjunto son [matemáticas] 103 [/ matemáticas], [matemáticas] 109 [/ matemáticas], [matemáticas] 113 [/ matemáticas], [matemáticas] 127 [/ matemáticas]. [matemática] ([/ matemática] De hecho, no hay primo entre [matemática] 113 [/ matemática] y [matemática] 127 [/ matemática], un espacio inusualmente grande para los números primos de este tamaño. [matemática]) [/ math] Sabemos que [math] p \ nmid (10 ^ {(p-1) / 2} -1) [/ math] para estos números primos [math] ([/ math] y para aquellos en la clase de congruencia en [ math] (\ star)) [/ math], y estamos buscando [math] p [/ math] para el cual [math] p \ nmid (10 ^ d-1) [/ math] para cada [math] d \ mid (p-1) [/ math].

Para [math] p \ in \ {103,109,113,127 \} [/ math], buscamos los divisores [math] d [/ math] de [math] p-1 [/ math], [math] d <\ frac {p -1} {2} [/ matemáticas].

Para [math] 102 = 2 \ cdot 3 \ cdot 17 [/ math], los seis divisores son [math] 1,2,3,6,17,34 [/ math].

Para [matemática] 108 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 3 [/ matemática], los diez divisores son [matemática] 1,2,3,4,6,8,9,12,18,36 [/ matemática].

Para [matemática] 112 = 2 ^ 4 \ cdot 7 [/ matemática], los ocho divisores son [matemática] 1,2,4,7,8,14,16,28 [/ matemática].

Para [matemáticas] 126 = 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 [/ matemáticas], los diez divisores son [matemáticas] 1,2,3,6,7,9,14,18,21,42 [/ matemáticas] .

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Hacemos uso del hecho de que [math] 10 ^ 2 [/ math] está cerca de estos números primos para calcular varios [math] 10 ^ d \ bmod p [/ math] .

Comenzamos con [matemáticas] p = 103 [/ matemáticas].

[matemáticas] 10 ^ {17} = 10 \ cdot \ big (10 ^ 2 \ big) ^ 8 \ equiv 10 \ cdot (-3) ^ 8 \ equiv 10 \ cdot 22 ^ 2 \ equiv -310 \ equiv -1 \ bmod {103} [/ matemáticas].

Por lo tanto, [math] 10 ^ {34} \ equiv 1 \ bmod {103} [/ math], que descarta [math] p = 103 [/ math].

El siguiente en la línea es [matemáticas] p = 109 [/ matemáticas]. Verificamos que para cada [matemática] d \ mid 108 [/ matemática], [matemática] d <54 [/ matemática] [matemática] ([/ matemática] vea la lista anterior [matemática]) [/ matemática], [matemática ] 109 \ nmid (10 ^ d-1) \ ldots (1) [/ math]

Usamos repetidamente [math] 10 ^ 2 \ equiv -9 \ bmod {109} [/ math] y [math] 10 ^ 3 \ equiv 19 \ bmod {109} [/ math]. Esto produce la siguiente lista de pares ordenados [matemática] (d, 10 ^ d \ bmod {109}) [/ matemática]:

[matemáticas] (1,10) [/ matemáticas], [matemáticas] (2, -9) [/ matemáticas], [matemáticas] (3,19) [/ matemáticas], [matemáticas] (4, -28) [ / matemática], [matemática] (6,34) [/ matemática], [matemática] (8,21) [/ matemática], [matemática] (9, -8) [/ matemática], [matemática] (12, -43) [/ matemáticas], [matemáticas] (18, -45) [/ matemáticas], [matemáticas] (36, -46) [/ matemáticas].

Por lo tanto, la [matemática] \ ell [/ matemática] más pequeña para la cual [matemática] 109 \ mid (10 ^ {\ ell} -1) [/ matemática] es [matemática] \ ell = 109 [/ matemática]. Por lo tanto, la expansión de [math] \ frac {m} {109} [/ math] tiene una longitud [math] 108 [/ math], para cada [math] m \ in \ {1,2,3, \ ldots, 108 \}[/matemáticas].

Un teorema no tan conocido de Midy dice que si la expansión decimal de [math] \ frac {1} {p} [/ math] tiene una longitud par [math] ([/ math] so [math] \ ell [/ math ] es par [math]) [/ math], y si agregamos los primeros [math] \ frac {\ ell} {2} [/ math] dígitos de la expansión con los últimos [math] \ frac {\ ell} {2} [/ math] dígitos, obtenemos el número [math] \ underbrace {9 \, \ ldots \, 9} _ {{\ ell / 2} \: \ text {times}} [/ math]. Por lo tanto, es suficiente escribir los primeros [math] \ frac {\ ell} {2} [/ math] dígitos de la expansión de [math] \ frac {1} {p} [/ math] provisto [math] \ ell [ / matemáticas] es par.

Para [matemáticas] p = 109 [/ matemáticas], [matemáticas] \ ell = 108 [/ matemáticas]; escribimos solo los primeros [matemáticos] 54 [/ matemáticos] dígitos:

[matemáticas] \ frac {1} {109} = 0. \ overline {009174311926605504587155963302752293577981651376146788 \ ldots} [/ math]

El mínimo [matemáticas] n [/ matemáticas] es [matemáticas] 109 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

---

Gracias a Quora User por señalar que [math] p = 103 [/ math] no funciona:

[matemáticas] \ frac {1} {103} = 0. \ overline {0097087378640776699029126213592233} [/ matemáticas]

tiene una duración de período [matemática] 34 [/ matemática]. Tenga en cuenta que [matemáticas] 34 \ mid (103–1) [/ matemáticas].

Observación. Tengo más publicaciones tanto en la expansión decimal de números racionales como también en el símbolo Legendre y su aplicación, y puedo proporcionar enlaces si es necesario si alguien está tan interesado.

Answer 3

He escrito un programa de software que prueba períodos como ese.

Los resultados para períodos crecientes (incluido el primero sobre 100) son:

2: el período es 0
7: El período es 6
17: El período es 16
19: El período es 18
23: El período es 22
29: El período es 28
47: El período es 46
59: El período es 58
61: el período es 60
97: El período es 96
109: El período es 108

Entonces 109 es la primera n con un período superior a 100. Para m = 1 esto funciona.

He simulado la división real y el hecho de que el período se repite cuando el resto se repite. Así que asigné una pequeña tabla para cada n para ver qué restos han sido afectados y averiguaría dónde se ha detenido. También he detenido múltiplos de 2 y 5 que son aperiódicos y mixtos periódicos; el período de un número par es el mismo que el de su mitad, y para un múltiplo de 5 dividir por ese 5 no hace nada especial.

Answer 4

La parte que se repite tiene una longitud no mayor que el denominador. Entonces, simplemente probando 1/101, 1/102, 101/3 … llegas a 1/109 que tiene un período de 108 dígitos.

Answer 5

Con mi ingles