Para tres números distintos de cero a, byc, ¿cómo resolvería y encontraría el valor para a + b + c = abc?

Answer 1

Si adoptamos un enfoque geométrico, primero podríamos preguntar: ¿qué tipo de forma es esta? Una ecuación en tres variables corresponde a una forma tridimensional.

Podemos comenzar a resolverlo observando cortes bidimensionales. Entonces, si arreglamos, digamos, [matemática] c = 1 [/ matemática], entonces obtenemos [matemática] a + b + 1 = ab [/ matemática], que es la hipérbola familiar, aunque cambió un poco.

Si cada segmento de la figura es una hipérbola, entonces no deberíamos tener problemas para encontrar tantos puntos reales, o incluso racionales, como queramos. Toda la forma no es algo para lo que conozco un nombre, o sé cómo parametrizarlo.

Entonces, volviendo al álgebra: arregle uno de los valores, nuevamente elegiremos [math] c [/ math]. Entonces podemos resolver para a en términos de [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas].

[matemáticas] abc – a = b + c [/ matemáticas]

[matemáticas] a (bc-1) = b + c [/ matemáticas]

[matemáticas] a = \ frac {b + c} {bc-1} [/ matemáticas]

Esto nos permite encontrar una [matemática] a [/ matemática] para cualquier valor de las otras dos variables, siempre que [matemática] bc \ neq 1 [/ matemática].

Algunos valores de ejemplo:

[matemáticas] b = 33, c = -32, a = -1/1057 [/ matemáticas]

[matemáticas] b = 2, c = 1, a = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] b = 1/5, c = 1/3, a = -4/7 [/ matemáticas]

Answer 2

Hay una identidad trigonométrica interesante, la fórmula de suma de tangentes:

[matemáticas] \ quad \ tan (A + B) = \ dfrac {\ tan A + \ tan B} {1- \ tan A \ tan B} [/ matemáticas]

Otro que involucra tangentes es

[matemáticas] \ quad \ tan (\ pi-C) = – \ tan C [/ matemáticas]

que dice que la tangente de un ángulo suplementario es la negación de la tangente del ángulo. El suplemento de un ángulo es [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] radianes (180 °) menos ese ángulo.

Ahora dejemos que [math] C [/ math] sea el suplemento de la suma de los ángulos [math] A + B [/ math]. En otras palabras, [matemáticas] A + B + C = \ pi [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] \ tan (A + B) = – \ tan C [/ matemáticas].

La fórmula de suma de tangentes se puede escribir como

[matemáticas] \ tan A + \ tan B + \ tan C = \ tan A \ tan B \ tan C [/ matemáticas].

Por lo tanto, la solución general a [matemáticas] a + b + c = abc [/ matemáticas] es [matemáticas] a = \ tan A [/ matemáticas], [matemáticas] b = \ tan B [/ matemáticas], [matemáticas] c = \ tan C [/ matemática], donde [matemática] A + B + C = \ pi [/ matemática].

Por ejemplo, considere este triángulo:

[matemática] \ tan A = 2 [/ matemática], [matemática] \ tan B = 3 [/ matemática] y [matemática] \ tan C = 1 [/ matemática], entonces una solución a la ecuación es [matemática] a = 2 [/ matemática], [matemática] b = 3 [/ matemática] y [matemática] c = 1, [/ matemática] como puede ver: [matemática] 2 + 3 + 1 = 2 \ cdot3 \ cdot1 [/matemáticas]

Answer 3

Estas preguntas generalmente son sobre enteros positivos, por lo que lo resolveré de esa manera. Suponga que [math] c \ geq {b} \ geq {a}. [/ Math] Entonces [math] abc = [/ math] [math] a + b + c \ leq {3c} [/ math] Entonces, ya sea [matemática] a = b = c = 0 [/ matemática] o [matemática] ab \ leq {3} [/ matemática] De esto [matemática] a = 1 [/ matemática] y [matemática] b = 1 [/ matemática] o [matemática] a = 1 [/ matemática] y [matemática] b = 2. [/ matemática] Si [matemática] a = 1 [/ matemática] y [matemática] b = 1 [/ matemática] entonces [matemática ] 1 + 1 + c = c [/ matemática] y no hay ningún valor para [matemática] c. [/ Matemática] Si [matemática] a = 1 [/ matemática] y [matemática] b = 2 [/ matemática], entonces [matemáticas] 1 + 2 + c = 2c [/ matemáticas] y así [matemáticas] c = 3. [/ matemáticas]

Answer 4

Esa es una ecuación con 3 incógnitas, por lo que no hay una solución única.

Para encontrar una solución única, necesita tantas ecuaciones diferentes como variables desconocidas.

Por ejemplo, x + y = 2, hay infinitas soluciones válidas a menos que agregue una segunda ecuación, entonces no habrá una solución o una sola solución que satisfaga ambas ecuaciones

Aquí hay algunos ejemplos de soluciones a su problema original:

1 + 2 + 3 = 1 * 2 * 3

1 + 4 + 5/3 = 1 * 4 * 5/3

2 + 2 + 4/3 = 2 * 2 * 4/3

Podría continuar, pero me detendré aquí, hay infinitas soluciones a su problema y se requerirían 2 ecuaciones adicionales para determinar una sola respuesta correcta

(Vale la pena señalar que también puede no haber solución, por ejemplo

x + y = 1

x + y = 2

Esto no tendría solución)

(También vale la pena señalar que las ecuaciones deben ser diferentes, por ejemplo

x + y = 1

2x + 2y = 2

Esto aún tendría soluciones infinitas, ya que ambas ecuaciones son idénticas, por lo que realmente tiene 1 ecuación con 2 incógnitas, por lo que si intenta resolverla algebraicamente obtendrá cosas como x = x o 0 = 0, así que tenga cuidado con eso también)

La mayoría de las veces obtendrá ecuaciones como estas:

x + y = 1

2x + y = 2

Por lo tanto, x = 1 e y = 0 es la única solución, ¡ahora ese es el tipo de matemática que queremos ver!

Answer 5

Esta es una interesante variedad bidimensional en el espacio 3D: x + y + z = xyz. Hay muchos solucionadores que dibujarán esto. Lo interesante para un físico teórico son, por supuesto, las simetrías de esta variedad. Es simétrico bajo cualquier intercambio de x, y y z.

Answer 6

a = 1, b = 2 y c = 3 funciona.

Para todos los números más grandes, el producto es mayor que la suma.

Answer 7

1 + 2 + 3 = 1 * 2 * 3 = 6