¿Por qué los matemáticos hacen ilegalmente una solución raíz real para esta ecuación diofantina no solucionable [matemática] (n ^ 5 – m ^ 5 = nm ^ 4) [/ matemática], donde (n, m) son enteros coprimos positivos?

Answer 1

Si (n, m) son enteros coprimos positivos, entonces la ecuación no tiene solución. De hecho, [math] mcd (n, m) = 1 \ Rightarrow mcd (n, m ^ 5) = 1 [/ math]; pero de [matemáticas] m ^ 5 = n (n ^ 4 – m ^ 4) [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] n | m ^ 5 [/ matemática] contradicción.

Si dejamos que [math] n, m [/ math] sea elegido entre [math] \ mathbb {R} [/ math], entonces considerando los casos, cualquiera de ellos es cero (y tratamos ese caso apropiadamente), o podemos elegirlos entre [math] \ mathbb {R ^ +} [/ math] y tomar la ecuación como [math] n ^ 5 = nm ^ 4 \ pm m ^ 5. [/ math]

Graficando (en [math] \ mathbb {R ^ +} [/ math]), el lado derecho va hacia arriba y el lado izquierdo es una línea. Tiene una raíz real. El caso menos no tiene una raíz porque debemos tener [matemática] n> m [/ matemática] para que el lado derecho sea positivo, pero luego [matemática] n ^ 5> nm ^ 4> (nm) m ^ 4 [/matemáticas].

Answer 2

Completamente ilegal. Usted pregunta “¿cómo ilegalmente?”. Como es realmente fácil demostrar que esta ecuación no tiene una solución entera, si alguien (matemático o no) tiene una prueba de una solución entera, debe contener algo ilegal, algo completamente ilegal.

¿Eso es lo que estás preguntando? ¿O estabas buscando algo más?

Answer 3

Puede haber o no pares de solución de números enteros positivos para esta ecuación (su prueba no está muy bien organizada y hay algunos errores de notación). Si es diofantina, los únicos pares de soluciones aceptables son los enteros, pero como se trata de una ecuación quíntica en dos variables, encontrará hasta cinco soluciones reales para una variable si establece la otra constante (consulte la edición para obtener más detalles). Dudo que un matemático haya cometido el error de hablar sobre las soluciones de Diophantine y encontrar soluciones reales en la misma exposición. La técnica involucrada en esos dos campos es bastante diferente hasta donde yo sé.

EDITAR: la respuesta de Alex Wice ha hecho algunas matemáticas y ha producido un resultado útil. Te remito a eso. También te advierto que no uses un lenguaje tan emocional al hablar de matemáticas, ya que puede resultar arrogante y ofensivo.

Answer 4

No sé nada acerca de esta ecuación en particular (excepto que puedes comenzar factorizando el lado izquierdo) pero solo porque no hay una solución de diofantina (lo que significa que no hay solución donde [matemáticas] m [/ matemáticas] y [matemáticas] n [/ matemáticas] son enteros) no significa que no haya soluciones reales, y obviamente hay muchas.

Nada ilegal sobre eso.