Lo primero que debemos hacer es encontrar las soluciones enteras. Esto nos dará una idea aproximada de dónde deberían estar todas las soluciones reales.
Para el entero [matemáticas] x [/ matemáticas], la ecuación anterior no es más que [matemáticas] x ^ 2-x-2 = 0 [/ matemáticas]. Entonces, [matemáticas] x = -1, 2 [/ matemáticas].
Ahora veamos cómo [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x + 2 [/ matemáticas] se comportan en torno a estas dos soluciones.
Alrededor de [matemática] x = 2 [/ matemática] ambas funciones están aumentando, pero [matemática] x ^ 2 [/ matemática] está aumentando a un ritmo más rápido que [matemática] x + 2 [/ matemática]. También para [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas], [matemáticas] [x ^ 2] = [x + 2] = 4 [/ matemáticas]. Como [math] x [/ math] aumentará, el valor de estas funciones permanecerá en 4 o aumentará a 5. [math] [x ^ 2] [/ math] se convierte en 5 en [math] \ sqrt {5} [ / math] pero [math] [x + 2] [/ math] se convierten en 5 solo cuando [math] x = 3 [/ math]. Entonces, la igualdad es válida para [math] x \ in [2, \ sqrt {5}) [/ math].
- Suponga que [math] u_n = \ lim \ limits_ {m \ to \ infty} (u_ {n + 1} + \ cdots + u_ {n + m}) [/ math] y [math] \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ sum_ {k = 1} ^ n u_k <+ \ infty [/ math]. ¿Cómo puedo probar [matemáticas] u_n = 0 [/ matemáticas] para todas [matemáticas] n [/ matemáticas]?
- ¿Cómo puedo expresar (x ^ 2) ^ nx ^ 5 / x ^ n como una potencia de x? ¿Hay algún consejo para escribir este tipo de fórmula que no use “^”?
- ¿Cómo integro [math] \ displaystyle \ int \ frac {\ ln (x)} {1 + x ^ 2} \, \ mathrm dx [/ math]?
- Cómo probar por definición el límite de [matemáticas] \ frac {n-2 ^ {x_n}} {n + x_n ^ 2} [/ matemáticas] donde [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} x_n = L [ / matemáticas] y L es un número positivo
- Cómo demostrar que x ^ 3 + 1 tiene exactamente una raíz entera
De manera similar, si verificamos cómo se comportan estas dos funciones cuando [math] x [/ math] disminuye de 2, vemos que son iguales para todos los valores de [math] x [/ math] entre [math] \ sqrt { 3} [/ math] y 2, ambos incluidos.
Entonces, alrededor de [math] x = 2 [/ math], la solución es [math] x \ in [\ sqrt {3}, \ sqrt {5}) [/ math].
Ahora analicemos alrededor de [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas]. Aquí [matemática] x ^ 2 [/ matemática] está disminuyendo, mientras que [matemática] x + 2 [/ matemática] está aumentando. También para [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas], [matemáticas] [x ^ 2] = [x + 2] = 1 [/ matemáticas]. A medida que aumentamos [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] [x ^ 2] [/ matemáticas] se convierte en 0 inmediatamente. Pero [matemática] [x + 2] [/ matemática] es 1 hasta que [matemática] x [/ matemática] llegue a 0. Por lo tanto, no hay una solución mayor que [matemática] x = -1 [/ matemática].
Si disminuimos [matemática] x [/ matemática], [matemática] [x ^ 2] [/ matemática] permanece igual o aumenta. [matemática] [x + 2] [/ matemática] por otro lado disminuye a 0 y va disminuyendo aún más si continuamos disminuyendo [matemática] x [/ matemática]. Por lo tanto, no hay una solución más pequeña que [math] x = -1 [/ math].
Entonces, la solución completa es [matemáticas] x \ en [\ sqrt {3}, \ sqrt {5}) \ cup \ {- 1 \} [/ matemáticas]