Dado que la repetición de .9 es igual a 1, ¿en qué punto los científicos y los matemáticos consideran números similares iguales a 1? ¿Debe un número repetirse para siempre o hay un punto en el que está “lo suficientemente cerca”?

Answer 1

No confunda un número con la representación del número en un sistema de notación particular. Es simplemente una propiedad de nuestra notación de valor posicional que el número 1 tiene (al menos) dos representaciones en notación decimal: [matemática] 1 \ text {y} 0. \ bar 9 [/ matemática]. Es incorrecto decir que [math]. \ Bar 9 [/ math] y 1 son “números similares”. Son dos representaciones distintas del mismo número.

En realidad, cada número que tiene una representación decimal finita tiene una segunda representación sin terminación. Por ejemplo, [math] \ frac {1} {2} [/ math] puede representarse como 0.5 y también como [math] 0.4 \ bar 9 [/ math].

Probar que 1 y [matemáticas]. \ Bar 9 [/ matemáticas] son ​​dos representaciones del mismo número implica la extensión de la notación de valor posicional de enteros a los reales (sin mencionar también la definición de los reales), nociones de infinito e infinitesimales , y definiendo, de manera muy precisa, lo que significa “mismo número”.

Los ingenieros, los científicos (y, en las circunstancias correctas, incluso los matemáticos) a veces consideran que dos números están “lo suficientemente cerca” para ser tratados como iguales. Eso generalmente significa que la diferencia entre los números es lo suficientemente pequeña como para que pueda ignorarse. Esto siempre depende mucho de la aplicación. (Para aquellos que puedan cuestionar que los matemáticos hagan esto, piensen en frases como “a excepción de un conjunto de medida cero” y “de primer orden”. Estas son lo mismo que “lo suficientemente cerca”, simplemente en un entorno más abstracto).

Answer 2

Leí las respuestas a partir del 2/11/2017 1:38 HST y nadie señaló que la discusión depende de la definición de un número real. Tradicionalmente, existen dos enfoques: 1) clases de equivalencia de secuencias convergentes de Cauchy de números racionales (Reales construidos a partir de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy de racionales) y 2) el corte Dedekind (corte Dedekind – Wikipedia). Hay matemáticos que no creen en los números reales (Gregory Chaitin es (en mi opinión) un ejemplo muy interesante

“Los físicos experimentales saben lo difíciles que son las mediciones precisas. Nunca se ha medido una cantidad física con más de 15 dígitos de precisión. Los matemáticos, sin embargo, fantasean libremente con números reales de precisión infinita. Sin embargo, dentro de las matemáticas puras, la noción de un número real es extremadamente problemática ”

tomado de https://arxiv.org/pdf/math/04114 …

Existe y ha habido una guerra cultural entre los matemáticos y el resto del establecimiento científico desde que Georg Cantor creó su teoría de los números transfinitos y la teoría de conjuntos asociada. Chaitin es muy inusual entre los matemáticos porque toma en serio el principio de incertidumbre de Godel y lo ha extendido a lo que él llama teoría algorítmica de la información. Afirma que los físicos son mucho más receptivos a su mensaje de que las matemáticas son inherentemente una ciencia experimental que entre sus colegas matemáticos. La respuesta corta a su pregunta es que 1 tiene dos (y solo dos) expansiones decimales infinitas apropiadas, a saber, 1.000000 … y 0.9999999 …, pero tal respuesta ignora la historia intelectual muy interesante detrás del concepto de un número real.

Answer 3

Para los matemáticos, dos números son iguales o no iguales. Si dos números reales son iguales, la distancia entre ellos es 0. (Esta es otra forma de decir que la distancia entre cualquier número y sí mismo es 0.) Si dos números reales no son iguales, la distancia entre ellos es mayor que 0.

Dado .999 … 9 con [matemática] n [/ matemática] lugares decimales, la distancia entre este número y 1 es [matemática] 10 ^ {- n} [/ matemática] que es mayor que 0 para cualquier entero positivo [matemática] n [/ matemáticas]. Entonces este número real no es igual a 1.

No escribimos [math] a = b [/ math] para significar que [math] a [/ math] y [math] b [/ math] están lo suficientemente cerca. Si quieres decir [matemáticas] | ab | <10 ^ {- 100} [/ math], debe escribir [math] | ab | <10 ^ {- 100} [/ math].

.999 …, con un número infinito de 9s, se define como el límite de la secuencia 0.9, 0.99, 0.999, etc. Una secuencia puede tener como máximo un límite, y el límite de esta secuencia es 1. Entonces .999 …. = 1: son dos formas diferentes de escribir el mismo número real.

Para un científico, una cantidad siempre viene con un rango de error (o al menos debería). Si el rango de error no es explícito, se supone que es el número de cifras significativas que ha escrito.

Entonces, para un científico, los números 0.999 y 0.9990 son medidas diferentes. El primero indica una cantidad que está en el rango 0.9985–0.9995, y el segundo una cantidad en el rango 0.99895–0.99905.

Entonces, para un científico, ¿son los números 1 y 0.9999 lo suficientemente cercanos como para ser iguales? Interpretaré la pregunta como: si su hipótesis predice que un valor debe ser 1 y usted lo mide como 0.9999, ¿ha confirmado su hipótesis? La respuesta: depende de la precisión de su medición. Si la medición tiene un rango de error de [matemática] 10 ^ {- 3} [/ matemática] entonces usted tiene: si tiene un rango de error de [matemática] 10 ^ {- 10} [/ matemática], entonces ha falsificado su hipótesis (y debería haber informado su medida como 0.999900000).

Answer 4

En matemáticas, dos cosas son iguales cuando son iguales. Entonces, .3 la repetición es igual a 1/3, por ejemplo, pero solo si se repite para siempre, porque .33333333333333333333333333333332 no es igual a 1/3. ¡Es un poquito menos! Es lo mismo con .9 repitiendo, lo que equivale a 1. Esas son dos formas de escribir el mismo número. Si lo haces .999999999999999999… 99999999998, eso no es 1. ¡Está cerca! Pero no es igual.

Por supuesto, en la vida real, nunca obtendrás tanta precisión de nada. ¡Pero los matemáticos no suelen preocuparse por la vida real! ¡Deja eso a los científicos!

Sin embargo, en ciencia, dos números medidos nunca son iguales, porque simplemente no podemos obtener tanta precisión. En cambio, si medimos dos números para tener exactamente los mismos dígitos, podemos decir que su diferencia es ± e, donde e es la incertidumbre experimental. Si la diferencia es 0.0001, entonces quizás podríamos decir que la diferencia es 0.0001 ± 0.00003 o cualquiera que sea el error. Podemos planificar más experimentos para que esa diferencia sea aún más pequeña. Recientemente, la gente ha estado haciendo eso para medir las diferencias entre la materia y la antimateria; ¡No sabemos que sus propiedades sean exactamente las mismas! Solo podemos decir si las mediciones son iguales al error experimental.

En programación, sin embargo, la situación es diferente. Allí, realmente necesitamos considerar los números iguales cuando realmente están lo suficientemente cerca, porque las computadoras almacenan los números de manera extraña. Por ejemplo, abra la consola del desarrollador en su navegador (en Chrome en una Mac, es cmd-opt-J) y escriba 0.102 + 0.302. Esperarías 0,404, pero en su lugar, obtienes 0,40399999999999997. ¿Lo que da? Bueno, es porque la computadora no almacena 0.102 como el número 0.102; en cambio, lo almacena como una fracción binaria, y 0.102 es un número que se repite para siempre en binario, por lo que la computadora tiene que cortarlo en algún momento. Agréguelo a otro número que se corte de manera similar, y el error ahora es demasiado grande para ignorarlo. En otras palabras, estamos tratando con cálculos aproximados todo el tiempo, siempre que tratemos con números de coma flotante (a menos que los números sean los que pueden representarse exactamente). Entonces, cuando verificamos la igualdad de dos números de coma flotante, necesitamos agregar algún tipo de factor de falsificación. El tamaño de ese factor de chocolate depende de su aplicación específica. ¿Cuánto error tolerarás?

Answer 5

[matemática] 0.9999 … [/ matemática] no solo se considera igual a [matemática] 1 [/ matemática] o lo suficientemente cerca de [matemática] 1 [/ matemática]. Es IGUAL a [matemáticas] 1 [/ matemáticas].

Para una prueba más detallada, vea esta respuesta: la respuesta de Tanay Karnik a ¿Cuál es el valor de [1.99999 …]?

El punto a destacar aquí es que, solo porque dos cosas no se vean iguales no significa que no sean lo mismo. Después de todo, [matemáticas] 5/5 [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] 1 [/ matemáticas], ¿verdad?

Matemáticamente, no hay “lo suficientemente cerca”. Una diferencia muy pequeña también es una diferencia. No puede ignorar eso a menos que esté de acuerdo con las aproximaciones.

Pero en este caso particular simplemente no hay diferencia. Las dos cosas son exactamente iguales.

Entonces, la próxima vez que se encuentre con un debate de este tipo, no solo escupe lo que dice su intuición. Intenta demostrarlo. Si hay una diferencia, muéstrala. Si crees que no existe, escribe una prueba para demostrar que son iguales.

Así es como funciona la matemática y así puedes convencer a los demás.

---

Y para resumir, no, no hay ningún punto en el que consideres que las cosas están “lo suficientemente cerca” y, por lo tanto, decides que son iguales.

---

Si tiene alguna consulta, no dude en preguntar. = D

Answer 6

¡Bien hecho Mary Sue!

¡El Cadete oficial de ciencias más joven que haya sido enviado a un buque de la Flota Estelar en servicio activo! Tus padres habrían estado orgullosos de ti si hubieran sobrevivido a lo desagradable de Aldebarán.

¡Y qué barco! ¡El USS Beagle, el último y más capaz buque de investigación científica de la flota en su primera misión, y ahí está, informando directamente a su director científico, el Dr. Erasmus!

La misión: hacer un estudio encubierto de la quinta luna de Cygnus Alpha y descubrir qué están extrayendo los Vrags allí.

Una partida de desembarco, dirigida por (para asombro de todos) el Capitán mismo, ha logrado obtener una muestra del mineral desconocido, con la desafortunada pérdida de Ensign Johnson en el proceso.

Su trabajo es tratar de identificar el mineral a partir de su densidad. Lo cortas cuidadosamente en un cubo y mides la longitud de cada lado con tus pinzas Ramsden. 13,7 cm en cada lado. Corte limpio Mary Sue! OK, entonces el volumen es 13.7 x 13.7 x 13.7 = 2571.353 centímetros cúbicos.

Ahora, ponlo en la balanza. ¿Qué pesa? 18553 gramos. Entonces, la densidad, según su calculadora, es 7.2152676042534805606231427579177 gramos por centímetro cúbico.

Te apresuras al “libro de parachoques de la Flota Estelar de todos los números en el universo” Sí, ahí está. La densidad de Unobtanium es 7.2152676. ¡Bingo! ¡Es Unobtanium! ¡A 7 decimales!

Usted escribe su experimento y sus conclusiones y se lo presenta con confianza al Dr. Erasmus.

Que rápidamente te arranca un nuevo gilipollas y te asigna que recalibres los sensores de análisis de materia fecal en los baños de la tripulación para el resto de la misión.

¿Qué hiciste mal Mary Sue?

Bueno, tus pinzas Ramsden solo miden a la décima de centímetro más cercana. Eso significa que cada lado del cubo puede tener entre 13,65 y 13,75 cm, lo que da un rango de volúmenes entre 2543.302125 y 2599.609375 centímetros cúbicos. Sus escalas solo miden al gramo más cercano, dando un rango posible de 18552.5 a 18553.5 gramos.

Por lo tanto, la densidad de su muestra podría estar en cualquier lugar en el rango de 7.1366549 a 7.2950436 gramos por centímetro cúbico. Una gama que incluye no solo Unobtanium, sino Pandemonium, una sustancia que si se ingiere provoca la alucinación de que todos los miembros de la tripulación están vestidos como dandies del siglo XVIII y Saunderite, que es un sabroso condimento para el pollo frito.

La moraleja de esta historia?

En ciencias empíricas, poner muchos dígitos en el resultado de los cálculos no tiene sentido, y posiblemente sea engañosamente peligroso, si van más allá de la precisión de las mediciones originales.

Ah, y Mary Sue. Olvidó reemplazar el sello de ese sensor en los inodoros en el nivel 17. Y anoche fue noche de curry. ¡Disfrutar!

Answer 7

Hm, me sorprendió que no surgiera una discusión de análisis real. Las ideas matemáticas para tal problema es límite, vea cualquier buen libro de cálculo o Límite (matemáticas) – Wikipedia. Esto supone una precisión infinita de un número / medida. No todas las secuencias tienen un límite. Llame al valor límite L y luego llamaremos [matemáticas] \ | L – v \ | [matemáticas] el resto.

En el mundo físico “real”, no podemos medir con una precisión infinita, por lo que obtenemos un valor [math] \ pm [/ math] como error . Entonces “error” está relacionado con la idea matemática de “qué tan cerca estamos del número dado”. (Me estoy saltando el problema estadístico aquí).

El punto ahora es que el error no es lo mismo que el resto. La respuesta es fácil para los matemáticos: el límite se alcanza cuando el resto se convierte en un cierto tamaño acordado y nunca se hace más grande, esa es la versión matemática de “lo suficientemente cerca”. Los científicos e ingenieros pueden hacer algo similar, pero su problema es la capacidad de medir con cierta precisión.

Answer 8

en este caso, incluso para matemáticos, es el mismo número.

y es solo una forma de “mostrarse”.

porque 0.9 repitiendo para siempre es por todos los medios (incluso para matemáticos) se puede expresar como 0.3 x 3 repitiendo para siempre. que es 1/3

y 1/3 x 3 = 1, así que si esto es cierto, 0.9 repitiendo para siempre debería ser igual a 1.

El único problema aquí es la forma en que se expresa.

Puedo mostrar esto incluso por otros medios, en la forma en que convierte números periódicos en fracciones.

0.3R (o 0.333333… ..) = 3/9 (la forma de hacerlo es aplicar la cantidad de decimales de la parte periódica como 9 en lugar de 0).

3/9 = 1/3 (por simplificación).

del mismo modo

0.9R (o 0.999999… ..) es 9/9 y esto es solo 1.

Por otro lado y más relacionado con esa broma, si quieres ser verdad, en algún momento debes notar que las partículas se mueven así, es imposible estar a la distancia que dice el matemático porque las moléculas no están exactamente en la misma posición (por lo que el enfoque científico e ingeniero es mejor).

¿Cuál es el punto de medir algo más allá del punto donde tiene sentido?

Answer 9

No hay tal número. Toda la matemática está codificada en la teoría de conjuntos que se basa en la lógica, que solo admite expresiones finitas. Sin límites, pero finito. Cada número finito es una expresión finita específica (pero muy, muy grande). Puede hablar del límite 0.9, 0.99, 0.999, … que es igual a 1, pero no hay un número con una representación infinita en la lógica clásica de primer / segundo orden. También puede hablar de conjuntos infinitos y definir un conjunto que representaría dicho número. Si bien ese conjunto existiría, en realidad no podría expresarse. Y, nuevamente, lo mejor que puede hacer es demostrar que no hay ningún número entre ese conjunto y el conjunto que representa el dígito 1. No podías probar su igualdad. Tampoco encontrarás ese número usando los Axiomas de Peano. No lo he estudiado, pero probablemente ese número se encontraría en la teoría infinitesimal que se puede formalizar, pero si no recuerdo mal, ese número tendría que existir en una teoría de números variantes que los reales.

Answer 10

Si desea que 0.9999 … sea exactamente igual a 1, entonces los 9 deben repetirse para siempre. Si se detuvieran en algún momento, habría una diferencia distinta de cero entre los dos números, por pequeña que sea.

En matemáticas, “lo suficientemente cerca” no significa igual. Sin embargo, en otros campos científicos como las ciencias naturales y la ingeniería, la precisión infinita es innecesaria e imposible. Cada medida y cálculo tiene un margen de error, y si un número está “lo suficientemente cerca” de otro, entonces se consideran iguales para todos los intentos y propósitos.

Answer 11

Mi pensamiento es:

Para cualquier otro científico, habría un punto en el que está “lo suficientemente cerca”. Lo que significa “lo suficientemente cerca” dependería del contexto. Un astrónomo tendría una perspectiva diferente a la de un químico.

Para un matemático, solo lo hará por siempre. Tan pronto como se detiene, no son iguales, podemos probarlo, y eso es todo.

Gracias, Cameron Randall, por la A2A.

Answer 12

Realmente no hay otro número que sea ‘lo suficientemente cercano’, solo .9 recurrente. La mejor manera de definir números es usar un corte Dedekind. Si es posible encontrar un número entre el número que está considerando y el 1, entonces son números diferentes. Eso sería cierto para todos los demás números.

Answer 13

El otro número real “que se repite para siempre” lo suficientemente cerca de 1 es:

1.000000000000000…

observe que 1.00000000000009 está lo suficientemente cerca de 1.

O podría ir a números complejos y 1 +/- 0.00000000001 estoy lo suficientemente cerca de uno …

Lo suficientemente cerca es lo suficientemente bueno para ingenieros y científicos, pero no para matemáticos.

Ha habido muchas ocasiones en que pequeños errores de redondeo en las computadoras han causado estragos en las transacciones financieras.

Para los físicos, si estás cerca de las constantes de Planck, entonces es lo suficientemente bueno.

Answer 14

Los científicos y los matemáticos no son el mismo grupo.

Los científicos tienen que lidiar con las inexactitudes de medición, por lo que tienen que lidiar con cifras significativas. Entonces, cuántos dígitos .9 repetidos deben considerarse equivalentes a 1 depende de cuán precisas sean sus herramientas de medición.

Y los científicos no dicen realmente que son iguales. Dicen que no pueden notar la diferencia.

---

Pero para los matemáticos, que incursionan en lo abstracto y lo teórico, nada menos que la repetición infinita hará que .9 repetición sea igual a 1.

Piensa en ello de esta manera:

1 – .9 = .1

1 – .99 = .01

1 – .999999999999999999 = .00000000000000001

Si .9 … alguna vez deja de repetirse, entonces hay una diferencia calculable entre 1 y el otro número.

Pero si se repite para siempre 1 – .999 … = .000 …

Para más información, vea: ¿Por qué es [matemática] 0.999 \ ldots [/ matemática] igual a [matemática] 1 [/ matemática]?

Answer 15

Para los matemáticos, solo el decimal infinito 0.9999999 … es igual a 1. Ningún decimal con un número finito de 9 puede ser igual a 1.
En ciencia e ingeniería, y más generalmente en el mundo real, no se pueden conocer exactamente los números (excepto los enteros) . Por supuesto, un equipo de fútbol consta de exactamente 11 jugadores, no 10.98 o 11.03 🙂 pero una distancia o una masa nunca se pueden medir exactamente; siempre habrá un margen de error. Por lo tanto, se podría decir que dos números cuya diferencia es menor que el margen de incertidumbre son iguales a todos los efectos .

Answer 16

La pregunta está mal.

“.9 repetitivo” es igual a 1 por definición . El primero es una notación alternativa en virtud del sistema decimal de base 10. Hay cero diferencia numérica entre los dos.

Una simple demostración:

[matemáticas] 1/9 = 0.111… .. [/ matemáticas]

[matemática] 9/9 = 9 [/ matemática] [matemática] \ veces0.111… .. = 0.999 …… = 1 [/ matemática]

Esto no es lo mismo que otros números similares , dependiendo de la profesión en la que se encuentre:

• Para la computación, existe un límite de precisión para los números de coma flotante utilizados como representación de un número real. Cualquier número real que tenga una diferencia menor con otro número que no sea la mitad de esta precisión se trata como el mismo número en una computadora.
• Para física e ingeniería, hay un límite de precisión para nuestras herramientas de medición. Proporcionar un resultado decimal con precisión infinita no es útil en estos contextos ya que los posibles errores de las herramientas de medición tienen mucho más efecto.

Answer 17

El chiste matemático e ingeniero responde perfectamente a esta pregunta. Va más o menos así, aunque lo adaptaré para esta pregunta en particular.

Un matemático y un ingeniero (supongamos que son hombres y heterosexuales) están sentados en una mesa bebiendo, cuando una hermosa mujer entra y se sienta en el bar.

El matemático dice: “Me encantaría hablar con ella, pero primero tengo que cubrir nueve décimas de la distancia entre dónde estamos y dónde está ella. Entonces, necesito cubrir nueve décimas de la distancia que queda, luego nueve décimas de esa distancia, y así sucesivamente. La serie es infinita, por lo que siempre habrá una distancia finita entre nosotros “.

El ingeniero se levanta y comienza a caminar. “Ah, bueno, estoy seguro de que puedo acercarme lo suficiente para todos los fines prácticos”.

En pocas palabras: los matemáticos deben sumar las series infinitas, mientras que los científicos e ingenieros generalmente no necesitan hacerlo.

Answer 18

Los físicos dirán que es igual a 1 si la diferencia entre 1 y el número es menor que algún parámetro de relevancia, llamado delta.

La gente de TI dirá que es igual a 1 si agregar el cuanto al tipo de datos haría un número que es> 1 (por lo general, en la programación, considera que el número más bajo es igual a algún número en el medio, en otras palabras, su piso eso).

Los matemáticos dirán que algo es igual a algún número si las limas de una expresión cuando algún parámetro clave tiende al infinito (o cero en algunos casos) es ese número, o cuando el número es demostrablemente 1 (0.9 repitiendo es [matemática] 9 ( \ frac {1} {9}) = 1 [/ matemáticas]).

Answer 19

Mi respuesta probablemente diferirá de la de los matemáticos porque soy ingeniero y soy práctico. Sé que todos los números racionales (p / q donde ambos son enteros) se expresan exactamente en decimales o dan como resultado patrones repetitivos (algunos dígitos largos) y típicamente estoy tratando con un punto flotante binario de precisión finita, escondiéndome detrás de la cortina, lo que puede Incluso representa la mayoría de los valores decimales exactamente. Si el patrón repetitivo lleva a la resolución de mis matemáticas (15–16 dígitos para punto flotante de doble precisión), es lo suficientemente exacto para mí.

Algunos patrones repetitivos son largos (los séptimos son de 6 dígitos), por lo que esto se aplica incluso si la última posición de dígitos disponible está desactivada en 1 o 2. Esto significa que puedo cometer errores de una parte o dos en 2 ^ 53, pero ninguno de mis datos es remotamente tan bueno

Answer 20

No soy lo que quieres decir con “número similar”. Este no es un concepto matemático. Quizás solo estés tratando de averiguar si el número 1 tiene una tercera representación decimal. No lo hace Cualquier número distinto de cero con una representación decimal finita (es decir, cualquier número entero distinto de cero o número racional que pueda escribirse como n / m con m con factores primos de solo 2 o 5) tiene exactamente dos representaciones. Uno termina con una cadena infinita de 0s, el otro con una cadena infinita de 9s.

> Debe un número repetirse para siempre …

Los números no se repiten para siempre. Muchos números tienen partes de representaciones decimales que se repiten para siempre. No confunda un número con su representación decimal. No confundirías a una persona con una fotografía de una persona, ¿verdad?

> ¿hay algún punto en el que esté “lo suficientemente cerca”?

¿Lo suficientemente cerca de qué?