¿Cómo encontrar [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {(n + K)!} {N ^ n} [/ matemáticas] para alguna constante (posiblemente descomunal) [matemáticas] K [/ matemáticas ]

Answer 1

En el límite como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math], puede ignorar la constante [math] K [/ math] sin importar cuán grande sea. Tal es la naturaleza de tomar un límite.

Una vez que hayamos hecho eso, estamos buscando

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {n!} {n ^ n} [/ math]

Podemos reescribir el numerador y el denominador para dar

[matemáticas] \ frac {1} {n} \ cdot \ frac {2} {n} \ cdot \ frac {3} {n} \ ldots \ frac {n-1} {n} \ cdot \ frac {n} {n} [/ matemáticas]

Está claro que cada término en este producto es menor que uno con la única excepción del último término, que es exactamente igual a uno. Por lo tanto, cada término posterior hace que el producto en general sea más pequeño, y podemos decir con confianza que el producto total es menor o igual que el primer término; en otras palabras,

[matemáticas] \ frac {n!} {n ^ n} \ leq \ frac {1} {n} [/ matemáticas]

Por supuesto, todos los términos son positivos, así que

[matemáticas] \ frac {n!} {n ^ n} \ geq 0 [/ matemáticas]

en el límite como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math], tenemos que

[matemáticas] 0 \ leq \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {n!} {n ^ n} \ leq 0 [/ math]

llevándonos a la conclusión (a través del siempre encantador Teorema de compresión ) que

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {n!} {n ^ n} = 0 [/ matemáticas]

Answer 2

Sobre la base de la respuesta de Nathan Smith a una pregunta similar, comenzamos señalando que [matemáticas] (n + K). = [/ matemáticas]

[matemáticas] ~~~~~ 1 * 2 * 3 *… * K * (K + 1) * (K + 2) *… * (K + n) [/ matemáticas],

y eso [matemáticas] (K + 1)! (n + K) ^ {n-1} = [/ matemáticas]

[matemáticas] ~~~~~ 1 * 2 * 3 *… * K * (K + 1) * (K + n) *… * (K + n) [/ matemáticas],

y que ambas expresiones tienen exactamente [math] n + K [/ math] términos, por lo que siempre que [math] n> 1 [/ math],

[matemáticas] ~~~~~ (n + K)! \ leq (K + 1)! (n + K) ^ {n-1} [/ matemáticas].

Por lo tanto,

[matemáticas] ~~~~~ 0 \ leq \ dfrac {(n + K)!} {n ^ n} \ leq \ dfrac {(K + 1)! (n + K) ^ {n-1}} { n ^ n} = \ left (\ dfrac {(K + 1)!} {n + K} \ right) \ left (\ dfrac {n + K} {n} \ right) ^ n [/ math]

La expresión de la derecha tiende a cero veces [matemática] e ^ K [/ matemática], en otras palabras, [matemática] 0, [/ matemática] y, por lo tanto, el teorema de compresión implica que

[matemáticas] ~~~~~ \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {(n + K)!} {n ^ n} = 0 [/ matemáticas].

Lo sorprendente de este resultado, para mí, de todos modos, es que significa que incluso un googolplex no es suficiente para alejar este límite de cero:

[matemáticas] ~~~~~ \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {\ left (n + 10 ^ {10 ^ {100}} \ right)!} {n ^ n} = 0 [/ matemáticas].