Cómo integrar [matemáticas] \ int \ frac {dx} {\ sqrt {1 + e ^ {2x}}} [/ matemáticas]

Deje que [math] T = \ displaystyle \ int \ frac {1} {\ sqrt {1 + e ^ {2x}}} \, \ mathrm dx [/ math]

Sea [math] u = \ sqrt {1 + e ^ {2x}} \ \ por lo tanto \ mathrm du = \ dfrac {e ^ {2x}} {\ sqrt {1 + e ^ {2x}}} \, \ mathrm dx = \ dfrac {u ^ 2 – 1} {\ sqrt {1 + e ^ {2x}}} \, \ mathrm dx [/ math].

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto T & = \ int \ frac {1} {u ^ 2 – 1} \, \ mathrm du \\ & = \ int \ frac {1} {\ left (u-1 \ right) \ left (u + 1 \ right)} \, \ mathrm du \\ & = \ int \ left (\ frac {1} {2 \ left (u-1 \ right)} – ​​\ frac {1} {2 \ left (u + 1 \ right)} \ right) \, \ mathrm du \\ & = {\ scriptsize \ frac {1} {2}} \ left (\ int \ frac {1} {u-1 } \, \ mathrm du – \ int \ frac {1} {u + 1} \, \ mathrm du \ right) \\ & = {\ scriptsize \ frac {1} {2}} \ big (\ log {\ left (u-1 \ right)} – ​​\ log {\ left (u + 1 \ right)} \ big) \\ & = \ log {\ sqrt {\ frac {u-1} {u + 1}}} \\ & = \ boxed {\ log {\ sqrt {\ frac {\ sqrt {1 + e ^ {2x}} – 1} {\ sqrt {1 + e ^ {2x}} + 1}}} \ + C } \ end {align} [/ math]


Letra pequeña: • cuando uso [math] \ log [/ math] esto denota un logaritmo natural (base [math] e [/ math] ); si se pretende cualquier otra base, se mostrará como un subíndice • Generalmente omito las constantes de integración de integrales indefinidas hasta que muestre un resultado final o intermedio •

[matemáticas] \ int \ dfrac {dx} {\ sqrt {1 + e ^ {2x}}} = (1 + e ^ {2x}) ^ {- 1/2} dx [/ matemáticas]

Deje [math] u = 1 + e ^ {2x} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {dx} {du} = 2e ^ {2x} [/ matemáticas]

[matemáticas] {dx} = 2e ^ {2x} du [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ dfrac {dx} {\ sqrt {1 + e ^ {2x}}} = \ int u ^ {\ dfrac {-1} {2}} 2e ^ {2x} du [/ math]

Si [matemática] u = [/ matemática] [matemática] 1 + e ^ {2x} [/ matemática]

Entonces [matemáticas] e ^ {2x} = u-1 [/ matemáticas]

Sustituyendo eso por [matemáticas] 2e [/ matemáticas] [matemáticas] ^ {2x} [/ matemáticas] da:

[matemáticas] \ int u ^ {\ dfrac {-1} {2}} 2 (u-1) du [/ matemáticas]

Términos de distribución:

[matemáticas] 2 \ int u ^ {\ dfrac {1} {2}} – u ^ {\ dfrac {-1} {2}} du [/ matemáticas]

Integrando:

[matemáticas] \ dfrac {u ^ {\ dfrac {3} {2}}} {\ dfrac {3} {2}} – \ dfrac {u ^ {\ dfrac {1} {2}}} {\ dfrac { 1} {2}} [/ matemáticas]

Simplificando:

[matemáticas] \ dfrac {2u ^ {\ dfrac {3} {2}}} {3} -2u ^ {\ dfrac {1} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {2u ^ {\ dfrac {3} {2}} – 6u ^ {\ dfrac {1} {2}}} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {2u ^ {\ dfrac {1} {2}} (u-3)} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {2 \ sqrt {e ^ {2x} +1} (e ^ {2x} -2)} {3} [/ matemáticas]

Finalmente agregue una constante

[matemáticas] \ dfrac {2 \ sqrt {e ^ {2x} +1} (e ^ {2x} -2)} {3} + c [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {dx} {\ sqrt {1 + e ^ {2x}}} [/ matemáticas]

Multiplicar tanto [matemática] N ^ r [/ matemática] como [matemática] D ^ r [/ matemática] por [matemática] e ^ {- x} [/ matemática]

[math] = \ displaystyle \ int \ dfrac {e ^ {- x} dx} {\ sqrt {1 + e ^ {- 2x}}} [/ math]

Sustituir [matemáticas] e ^ {- x} = t [/ matemáticas]; [matemáticas] -e ^ {- x} dx = dt [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {-dt} {\ sqrt {1 + t ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ ln | t + \ sqrt {1 + t ^ 2} | + C [/ matemáticas]

[math] = \ boxed {- \ ln (e ^ {- x} + \ sqrt {1+ e ^ {- 2x}}) + C} [/ math]

el signo absoluto se puso por rutina en el penúltimo paso y se elimina en el último paso (como lo sugiere Bernard Blander ) ya que el valor siempre es positivo.

Parcelas de la integral:

Formas alternativas de la integral:

Expansión en serie de la integral en x = 0:

Expansión en serie de la integral en x = (i π) / 2:

Expansión en serie de la integral en x = ∞:

Integral definida durante un medio período:

fuente: motor de conocimiento computacional

¿Has intentado sustituir u = e ^ x?

sustituir (1 + e ^ -2x) con y.

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt {1 + e ^ {2x}}} \, dx [/ math]

[matemáticas] x = \ ln \ tan t [/ matemáticas]

[matemática] dx = \ displaystyle \ frac {\ sec ^ 2t} {\ tan t} \, dt [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ displaystyle \ frac {\ sec ^ 2t} {\ tan t} \ cdot \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt {1+ \ tan ^ 2t}} \, dt [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ displaystyle \ frac {\ sec ^ 2t} {\ tan t} \ cdot \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt {\ sec ^ 2t}} \, dt [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ displaystyle \ frac {\ sec t} {\ tan t} \, dt [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ displaystyle \ frac {1} {\ sin t} \, dt [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ displaystyle \ frac {\ sin t} {\ sin ^ 2 t} \, dt [/ math]

[matemáticas] – \ displaystyle \ int \ displaystyle \ frac {- \ sin t} {1- \ cos ^ 2t} \, dt [/ math]

[matemáticas] \ cos t = u [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ sin t \, dt = du [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ displaystyle \ int \ displaystyle \ frac {1} {1-u ^ 2} \, du [/ math]

[matemáticas] – \ displaystyle \ frac {1} {2} \ displaystyle \ int \ displaystyle \ frac {2} {1-u ^ 2} \, du [/ math]

[matemáticas] – \ displaystyle \ frac {1} {2} \ displaystyle \ int \ displaystyle \ frac {1 + u + 1-u} {(1 + u) (1-u)} \, du [/ math]

[matemáticas] – \ displaystyle \ frac {1} {2} \ displaystyle \ int \ displaystyle \ frac {1} {1 + u} + \ displaystyle \ frac {1} {1-u} \, du [/ math]

[matemáticas] – \ displaystyle \ frac {1} {2} \ displaystyle \ int \ displaystyle \ frac {1} {1 + u} \, du- \ displaystyle \ int \ displaystyle \ frac {-1} {1-u } \, du [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 + u = v [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 \, du = dv [/ matemáticas]

[matemáticas] 1-u = z [/ matemáticas]

[matemáticas] -1 \, du = dz [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ displaystyle \ frac {1} {2} \ displaystyle \ int \ displaystyle \ frac {1} {v} \, dv- \ displaystyle \ int \ displaystyle \ frac {1} {z} \, dz [ /matemáticas]

[matemáticas] – \ displaystyle \ frac {1} {2} (\ ln v- \ ln z) [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ displaystyle \ frac {1} {2} (\ ln 1 + u- \ ln 1-u) [/ math]

[matemáticas] \ ln \ sqrt {\ displaystyle \ frac {1-u} {1 + u}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln \ sqrt {\ displaystyle \ frac {1- \ cos t} {1+ \ cos t}} [/ matemáticas]

[matemáticas] t = \ arctan e ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln \ sqrt {\ displaystyle \ frac {1- \ cos (\ arctan e ^ x)} {1+ \ cos (\ arctan e ^ x)}} + C [/ math]

Sustitución trigonométrica:

[matemáticas] e ^ x = \ tan (\ theta). [/ matemáticas]

Sustituya y = e ^ x, entonces dx = dy / y, y luego sustituya y = sh z (sin hyperbolicus), para deshacerse de sqrt (1 + y ^ 2). Después de un trabajo cuidadoso, obtiene la integral de dz / sh z que puede calcularse por analogía con intergloses trigonométricos similares.

Sub u = 2x

Entonces v = exp (u)

Entonces w = sqrt (v)

Y Bob es tu tío …