Para cantidades finitas, podemos separar los dos términos y escribir la suma como
[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {k} a ^ n – \ sum_ {n = 1} ^ {k} b ^ n [/ matemáticas]
Pero estos son reconocibles como series geométricas. Podemos incluir los términos [math] a ^ 0 [/ math] y [math] b ^ 0 [/ math], ambos 1, por lo que es igual a
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1-a ^ {k + 1}} {1-a} – \ frac {1-b ^ {k + 1}} {1-b} [/ math]
- Si [math] p [/ math] es un número primo y [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son dos enteros, ¿cómo podemos demostrar que [math] (x + y) ^ p \ equiv x ^ p + y ^ p \ pmod p [/ math]?
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Ambas series son convergentes para [matemáticas] | a | <1 [/ matemáticas] y [matemáticas] | b | <1 [/ matemáticas]. Su diferencia también es convergente, en ese caso, para
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {1-a} – \ frac {1} {1-b} [/ math]
Obviamente, la serie original también es convergente en [matemáticas] a = b [/ matemáticas], ya que todos los términos son cero, y la fórmula anterior también funciona en ese caso.
Supongamos que [matemáticas] | a | > 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] | b | > 1 [/ matemática] y [matemática] a \ neq b [/ matemática] Entonces [matemática] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} {a ^ n – b ^ n} [/ matemática] no es cero, entonces La serie no puede converger. Para demostrar esto, considere el caso [matemáticas] | a | > | b | [/ matemáticas]; entonces [matemática] a ^ {2n}> b ^ {2n} [/ matemática] para cualquier [matemática] n [/ matemática], y [matemática] a ^ {2n + 2}> a ^ {2n} [/ matemática ], entonces la diferencia también crece: [matemáticas] a ^ {2n + 2} – b ^ {2n + 2}> a ^ {2n} – b ^ {2n} [/ matemáticas]. Si invertimos la dirección, funciona un argumento similar. También deberíamos verificar el caso donde exactamente uno de [matemática] | a | [/ matemática] o [matemática] | b | [/ matemática] es [matemática] = 1 [/ matemática]; un término luego crece y el otro no.
(No creo que permitir que [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] sean valores complejos, esto admitiría algunas posibilidades adicionales, pero solo hice un análisis real en la universidad. La magnitud de [matemáticas] a ^ n [/ math] y [math] b ^ n [/ math] aún aumentaría si [math] | a | [/ math] y [math] | b | [/ math] no son [math] \ leq 1 [/ matemáticas].)