¿Cuál es la expansión binomial de (1 + x / 125) ^ 1/3? ¿Cómo se encuentra el valor adecuado de x y se obtiene una aproximación a 126 ^ 1/3?

Answer 1

Teorema binomial:

[matemáticas] \ displaystyle (a + b) ^ n = \ sum \ limits_ {k \ geq0} \ frac {(n) _k} {k!} a ^ {nk} b ^ k = a ^ n + na ^ { n-1} b + \ frac {n (n-1)} {2!} a ^ {n-2} b ^ 2 + \ cdots \ tag * {} [/ math]

Aquí, el límite se “reemplaza” por infinito y [math] n [/ math] no es negativo. Simplemente sustituya [matemática] a = 1 [/ matemática] y [matemática] b = x / 125 [/ matemática] y obtendrá su expansión.

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Para aproximar [matemática] 126 ^ {1/3} [/ matemática], simplemente trunca la expansión después de un cierto número de términos. En este caso, después de truncar nuestra expansión en dos términos, obtenemos una aproximación

[matemáticas] \ displaystyle \ left (a ^ 3 + d \ right) ^ {1/3} \ approx a + \ frac d {3a ^ 2} \ tag * {} [/ math]

Aquí, establezca [matemáticas] a = 5 [/ matemáticas] y [matemáticas] d = 1 [/ matemáticas] y obtenemos una aproximación bastante buena como

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt [3] {126} \ aprox 5+ \ frac1 {75} = 5.013333 \ ldots \ tag * {} [/ matemáticas]

Compare eso con el valor real calculado usando una calculadora:

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt [3] {126} = 5.013297935 \ ldots \ tag * {} [/ matemáticas]

¡No está mal!

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Algo que no podría haber dejado fuera, puedes intentar probar la serie exponencial

[matemáticas] \ displaystyle a ^ x = 1 + x \ log a + \ frac {x ^ 2 \ log ^ 2a} {2!} + \ frac {x ^ 3 \ log ^ 3a} {3!} + \ cdots \ etiqueta * {} [/ math]

utilizando el teorema binomial. ¡Es un problema de buena práctica!

Answer 2

[matemáticas] (126) ^ {\ frac 13} = \ left (\ frac {126} {125} \ cdot 125 \ right) ^ {\ frac 13} [/ math]

[matemáticas] (126) ^ {\ frac 13} = \ left (\ left (1+ \ frac {1} {125} \ right) \ cdot 125 \ right) ^ {\ frac 13} [/ math]

[matemáticas] (126) ^ {\ frac 13} = \ left ({125} \ right) ^ {\ frac 13} \ cdot \ left (1+ \ frac {1} {125} \ right) ^ {\ frac 13} [/ matemáticas]

[matemática] (126) ^ {\ frac 13} = 5 \ cdot \ left (1+ \ frac {1} {125} \ right) ^ {\ frac 13} [/ math]

La expansión binomial se puede usar para aproximar [matemática] \ izquierda (1+ \ frac {1} {125} \ derecha) ^ {\ frac 13} [/ matemática], pero probablemente sea lo suficientemente buena como para usar el primer término en la serie Taylor de [matemática] (1 + x) ^ a [/ matemática] para [matemática] | ax | \ ll 1 [/ matemática] que nos dice que [matemática] (1 + x) ^ a \ aprox 1 + hacha [/ math]. (Estas dos representaciones de series coinciden, pero es posible que esté más familiarizado con las series de Taylor). En su problema, [matemáticas] a = \ frac 13 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ frac 1 {125} [/ matemáticas] entonces [math] ax = \ frac 1 {375} [/ math] que es, de hecho, mucho menos que [math] 1 [/ math].

Entonces la aproximación da:

[matemática] (126) ^ {\ frac 13} \ aprox 5 \ cdot \ left (1+ \ frac {1} {375} \ right) [/ math]

[matemáticas] (126) ^ {\ frac 13} \ aprox 5+ \ frac {1} {75} [/ matemáticas]

[matemáticas] (126) ^ {\ frac 13} \ aprox 5+ \ frac {4/3} {100} [/ matemáticas]

[matemáticas] (126) ^ {\ frac 13} \ aprox. 5.01 \ bar 3 [/ matemáticas]

El error relativo en esta aproximación simple es de aproximadamente siete millonésimas (es decir, [matemática] 7 \ veces 10 ^ {- 6} [/ matemática]) que es notablemente bueno teniendo en cuenta que, con algo de práctica, no es demasiado difícil hacer esto aproximación en tu cabeza.

Answer 3

[matemáticas] (1+ \ frac {x} {125}) ^ {1/3} = 1 ^ {1/3} + \ frac {1/3} {1} 1 ^ {- 2/3} (\ frac {x} {125}) ^ 1 + \ frac {(1/3) (- 2/3)} {2!} 1 ^ {- 5/3} (\ frac {x} {125}) ^ 2 + \ frac {(1/3) (- 2/3) (- 5/3)} {3!} 1 ^ {- 8/3} (\ frac {x} {125}) ^ 3… [/ matemáticas ]

Obviamente, esto se simplifica (desechando los poderes de uno, etc.) pero está escrito en su totalidad para ilustrar el patrón binomial general. Las potencias descendentes deben estar en el término con un valor absoluto mayor y las potencias ascendentes en la menor, o no convergerán (es decir, | x | <125 aquí) y las potencias siempre suman el 1/3 original. La forma simplificada es:

[matemáticas] 1+ \ frac {x} {3 \ cdot 125} – \ frac {x ^ 2} {9 \ cdot 125 ^ 2} + \ frac {5x ^ 3} {81 \ cdot 125 ^ 3}… [ /matemáticas]

Para la raíz cúbica de 126, factoriza 5 como la raíz cúbica de 125 para obtener:

[matemáticas] 126 ^ {1/3} = 5 (1+ \ frac {1} {125}) ^ {1/3} \ aprox 5 (1+ \ frac {1} {375} – \ frac {1} {140625} + \ frac {1} {31640625}) = 5.013287836 [/ matemáticas]

cuyo cubo es 126.0000001