¿Cuántos valores no negativos de x satisfacen [x / 5] = [x / 7]?

La función entera más grande se denota por

y = [ x ].

Para todos los números reales, x , la función entera más grande devuelve el número entero más grande
menor o igual que x .

[ En esencia, redondea hacia abajo un número real al entero más cercano .]

Por ejemplo: [1] = 1 [1.8] = 1 [3] = 3
[-2] = -2 [-1.6] = -2 [-2.1] = -3

& [0.6] = 0 etc.

Alerta : una propiedad de [.] Dice eso;

[x + n] = [x] + n ; si n es un número entero y nunca una fracción.

Entonces no podemos escribir [x / 5] = [x] / 5 ; recuerde siempre que el número que sale de una función de cuadro es siempre un número entero.

Entonces muévete a tu problema;

[x / 5] = [x / 7]; x> 0 dado

Ahora observe que cuando ‘ 0 <x <5' entonces;

[x / 5] = [0 <un número decimal <1] = 0

También ; [x / 7] = [0 <un número <1] = 0

Entonces ambos son iguales

Pero cuando x = 5;

[x / 5] = [5/5] = 1

mientras que [x / 7] = [5/7] = 0

Entonces ambos son desiguales. Por lo tanto, debemos detenernos en x = 5.

Entonces ‘x’ puede tomar cualquier valor del intervalo abierto-cerrado (0,5].

(Me perdí): también en el intervalo [7,10) la ecuación dada satisface como [x / 5] = [x / 7] = 1.

También en el intervalo [14,15) la ecuación satisface como, [x / 5] = [x / 7] = 2.

Sin embargo, como no se menciona que ‘x’ sea necesariamente un número entero, puede tomar cualquier valor dentro de estos intervalos, lo que da como resultado soluciones ‘ Infinitas ‘.

Está claro que a medida que [math] n [/ math] aumenta, [math] \ frac {n} {5} [/ math] eventualmente será mucho más grande que [math] \ frac {n} {7} [/ math] . Mientras la diferencia sea al menos 1, las partes enteras no pueden ser iguales; un (muy) poco álgebra nos da

[matemáticas] \ frac {n} {5} \ geq \ frac {n} {7} +1 \ iff n \ geq \ frac {7 \ times 5} {7 – 5} = \ frac {35} {2} [/matemáticas]

Hay un resultado correspondiente para [math] n [/ math] negativo, pero no tenemos que preocuparnos por eso.

Por supuesto, no se sigue que las partes enteras de los cocientes sean las mismas para todos los números más pequeños.

[matemáticas] [5 \ veces 1, 7 \ veces 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] [5 \ veces 2, 7 \ veces 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] [5 \ veces 3, 7 \ veces 3) [/ matemáticas]

obviamente todos no son buenos; dividir entre [matemáticas] 7 [/ matemáticas] claramente da un número menor que dividir entre [matemáticas] 5 [/ matemáticas]. En el medio de este último rango, tropezamos por encima del límite absoluto que encontramos antes.

Observe que hay cinco buenos valores de [matemática] n [/ matemática] en [matemática] [0, 5) [/ matemática] (no es una coincidencia), y tres buenos valores en el siguiente grupo continuo de buenos valores, en [ matemática] [7, 10) [/ matemática] (disminuyendo de 5 a 3, es decir, por [matemática] 7-5 [/ matemática], nuevamente no es coincidencia). Luego hay un individuo solitario [matemáticas] n [/ matemáticas] en [matemáticas] [14, 15) [/ matemáticas], y eso es todo.

Por lo tanto, el tamaño del conjunto de soluciones es [matemática] 5 + 3 + 1 = 9 [/ matemática].

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