¿Cómo puedo demostrar que [matemáticas] \ displaystyle {\ lim_ {n \ to \ infty}} \ frac {x_1 + x_2 + \ cdots + x_n} {n} = + \ infty [/ math] cuando [math] \ displaystyle { \ lim_ {n \ to \ infty}} x_n = + \ infty? [/ math]

Answer 1

Respuesta ligeramente abreviada.

Como [matemática] \ lim x_n = + \ infty [/ matemática] sabemos que dada una K, existe una [matemática] n_0 [/ matemática] tal que para todos [matemática] n> n_0, x_n> K [/ matemática ]

Aplicando esto al promedio de la secuencia para [matemáticas] n> n_0, [/ matemáticas] tenemos que

[matemáticas] a_n = \ frac {x_1 +… x_n} {n}> \ frac {x_1 + \ ldots + x_ {n_0} + (n – n_0) K} {n} = \ frac {x_1 + \ ldots + x_ {n_0} – n_0 K} {n} + K [/ matemáticas]

Entonces, la parte izquierda de la expresión final tenderá a cero a medida que [math] n [/ math] aumente, y así para un [math] \ epsilon> 0 [/ math] dado y todos [math] n [/ math ] mayor que algunos [matemática] n_1> n_0 [/ matemática] tendremos [matemática] a_n> K – \ epsilon [/ matemática] y por lo tanto [matemática] a_n \ rightarrow \ infty [/ matemática]

Se puede usar un enfoque similar para demostrar que si [math] x_n [/ math] tiende a cierto límite [math] l [/ math], entonces [math] a_n [/ math] también lo hará.

Answer 2

No voy a hacer tu tarea de cálculo por ti, pero te daré algunas pistas.

Recuerde que “lim (n-> inf) xn = + inf” debe leerse como “x aumenta sin límite superior”.

Ahora, si x aumenta _monotónicamente_, la prueba sería trivial. Asumamos el peor de los casos: x rebota. Solo por diversión usaré G para “un googleplex” yg para “un google”.

Supongamos que x0 = -G, x1 = -G + g x2 = -G + 1, x3 = -G + g + 1, etc. O cualquier otra secuencia que rebota pero sigue aumentando.

Demuestre por reductio ad absurdum: suponga lo contrario y demuestre que conduce a una imposibilidad.

Suponga que “lim (n-> inf) (sum xi) / n” = y “Ahora necesitará un par de lemas (pruebas intermedias):

1. Para cualquier y, existe una m tal que (para todo n> m, xn> y)
2. Como consecuencia de 1, existe una ap tal que (para todo n> p, xn> 0)
3. También como consecuencia de 1, existe aq tal que (para todo n> q, xn> y)

Entonces … su suma diverge (aumenta sin límite), y además aumenta más rápido que n.

Complete los pasos y listo.