¿Cómo se resolvería [math] (\ pi x) ^ {\ log \ pi} = (ex) ^ {\ log e} [/ math]?

Answer 1

La primera idea para notar aquí es que podemos usar el cambio de fórmula base, que establece que [matemáticas] \ log_a b = \ dfrac {\ log_n b} {\ log_n a} [/ matemáticas], donde [matemáticas] n [ / math] es cualquier número real. Una vez que apliquemos esto, podemos factorizar y reorganizar, llegando finalmente a la solución final:

[matemáticas] (\ pi x) ^ {\ log \ pi} = (ex) ^ {\ log e} [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ pi x) ^ {\ frac {\ ln \ pi} {\ ln 10}} = (ex) ^ {\ frac {\ ln e} {\ ln 10}} [/ matemáticas]

[matemáticas] ((\ pi x) ^ {\ frac {\ ln \ pi} {\ ln 10}}) ^ {\ ln 10} = ((ex) ^ {\ frac {1} {\ ln 10}} ) ^ {\ ln 10} [/ math]

[matemáticas] (\ pi x) ^ {\ ln \ pi} = ex [/ matemáticas]

[matemáticas] \ pi ^ {\ ln \ pi} \ cdot x ^ {\ ln \ pi} – ex = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x (\ pi ^ {\ ln \ pi} \ cdot x ^ {\ ln \ pi -1} – e) = 0 [/ matemáticas]

Ahora, use la propiedad del producto cero para dividir esto en dos ecuaciones:

[matemáticas] \ begin {array} {c | c} \ pi ^ {\ ln \ pi} \ cdot x ^ {\ ln \ pi -1} – e = 0 & x = 0 \\ \ pi ^ {\ ln \ pi} \ cdot x ^ {\ ln \ pi -1} = e & \\ x ^ {\ ln \ pi – 1} = \ dfrac {e} {\ pi ^ {\ ln \ pi}} & \\ x = \ left (\ dfrac {e} {\ pi ^ {\ ln \ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ ln \ pi – 1}} \ end {array} [/ math]

Vale la pena señalar que la segunda solución se puede simplificar:

[matemáticas] \ left (\ dfrac {e} {\ pi ^ {\ ln \ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ ln \ pi – 1}} = n [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {\ ln (\ dfrac {e} {\ pi ^ {\ ln \ pi}})} {\ ln \ pi – 1} = \ ln n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln (\ dfrac {e} {\ pi ^ {\ ln \ pi}}) = \ ln n (\ ln \ pi – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln e – \ ln \ pi ^ {\ ln \ pi} = \ ln n (\ ln \ pi – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 – (\ ln \ pi) ^ 2 = \ ln n (\ ln \ pi – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + \ ln \ pi) (1 – \ ln \ pi) = – \ ln n (1 – \ ln \ pi) [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 + \ ln \ pi = – \ ln n [/ matemáticas]

[matemáticas] n = e ^ {- \ ln \ pi – 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ {\ ln \ pi ^ {- 1}} \ cdot \ dfrac {1} {e} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {\ pi} \ cdot \ dfrac {1} {e} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {\ pi \ cdot e} [/ matemáticas]

Por lo tanto, las dos soluciones son las siguientes:

[matemáticas] \ boxed {x = 0, \ text {} x = \ dfrac {1} {\ pi e}} [/ math]

Answer 2

[matemáticas] (\ pi x) ^ {\ log \ pi} = (ex) ^ {\ log e} [/ matemáticas]

Tomando el logaritmo en ambos lados,

[matemáticas] \ log \ pi \ times (\ log \ pi + \ log x) = \ log e \ times (\ log e + \ log x) [/ math]

[matemáticas] \ log ^ 2 \ pi + \ log \ pi \ log x = \ log ^ 2 e + \ log e \ log x [/ math]

[matemáticas] \ log x (\ log \ pi – \ log e) = \ log ^ 2 e – \ log ^ 2 \ pi [/ math]

[matemáticas] \ log x = – \ dfrac {\ log ^ 2 \ pi – \ log ^ 2 e} {\ log \ pi – \ log e} [/ math]

[matemáticas] \ log x = – \ dfrac {(\ log \ pi – \ log e) (\ log \ pi + \ log e)} {\ log \ pi – \ log e} [/ math]

[matemáticas] \ log x = – (\ log \ pi + \ log e) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ log x = \ log (\ pi e) ^ {- 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ log x = \ log {\ dfrac {1} {\ pi e}} [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] x = \ dfrac {1} {\ pi e} [/ matemáticas]

---

Otra solución trivial a la ecuación es [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ en caja {x = 0, x = \ dfrac {1} {\ pi e}} [/ matemáticas]

Answer 3

Tome el registro de ambos lados y resuelva el registro x.

Esto le daría [math] \ log x = – \ log \ pi – \ log e [/ math] y luego

[matemáticas] x = \ frac 1 {\ pi e}. [/ matemáticas]

Esto funciona para x positivo, y x = 0 también es una solución.

Answer 4

(pi.x) ^ (log (pi)) = (ex) ^ (log (e)), por lo tanto,

[(pi) ^ (log (pi))] / [e ^ (log (e))] = [x ^ (log (e)] / [x ^ (log (pi)]… (1)

Ahora, el LHS de (1) es una constante calculable y así lo llamamos m. Por lo tanto:

m = x ^ (log (e) – log (pi)) = x ^ (log (e / pi))

Ahora, log (e / pi) es una constante calculable y así lo llamamos p, y entonces tenemos

m = x ^ (p) o

x = m ^ (1 / p)… (2)

El RHS de (2) es una constante calculable y se deja al interrogador para completar.

Tenga en cuenta también que la ecuación permite x = 0 como una solución trivial.

Answer 5

Aplique el logaritmo en ambos lados: =>

log π (log πx) = log e log (ex) =>

log π. (log π + log x) = log e (log e + log x)

=> (log π) ^ 2 ÷ log π. logx = (log e) ^ 2 + log e. logx

=> (log π -log e) logx = (log e) ^ 2 – (log π) ^ 2

=> log x = ((log e) ^ 2 – (log π) ^ 2) / (log π- log e)

=> log x = – log e – log π =>

log x = – log (eπ) => x = 1 / (e. π)