¿Cuál es la raíz cuadrada de -i?

Answer 1

Para responder a esto, primero hay que definir el exponencial complejo.

La definición de una exponencial compleja [matemática] e ^ {i \ theta} [/ matemática] es simplemente el número complejo con parte real [matemática] \ cos {\ theta} [/ matemática] y parte imaginaria [matemática] \ sin { \ theta} [/ math].

Puede que se pregunte, ¿cómo se relaciona esto? Bueno, usando nuestra fórmula, queremos una parte real de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y una parte imaginaria de [matemáticas] -1 [/ matemáticas]. Es fácil mostrar que [math] \ theta = \ frac {3 \ pi} {2} [/ math].

Por lo tanto, [math] -i = e ^ {\ frac {3i \ pi} {2}} [/ math]. Cuando sacamos la raíz cuadrada, en realidad solo estamos dividiendo el exponente entre 2. Entonces, nuestro nuevo número complejo, escrito en forma polar (exponencial complejo) es solo [matemáticas] e ^ {\ frac {3i \ pi} {4 }}.[/matemáticas]

¡Pero espera! [math] -i [/ math] también se puede escribir como [math] e ^ {\ frac {7i \ pi} {2}} [/ math], ya que agregar [math] 2 \ pi [/ math] no hace nada para cambiar el valor de la parte real o imaginaria del número complejo (debido a la periodicidad de las funciones trigonométricas).

Esto nos da otra solución en forma polar: [matemáticas] e ^ {\ frac {7i \ pi} {4}} [/ matemáticas].

Si desea que las respuestas se escriban en forma de números complejos, simplemente conecte las formas polares en las ecuaciones y evalúe las funciones trigonométricas. No es dificil.

Answer 2

En primer lugar, tenemos la identidad de Euler (que no fue encontrada por Euler, pero que lleva su nombre independientemente)

[matemáticas] \ exp (i \ pi) = – 1 [/ matemáticas]

que es un caso especial de una ecuación más general (a veces llamada fórmula de Euler),

[matemáticas] \ exp (i \ phi) = \ cos (\ phi) + i \ sin (\ phi) [/ matemáticas]

Ahora podemos hacer el ejercicio:

[matemáticas] -i = 0 + i (-1) = \ cos (- \ pi / 2) + i \ sin (- \ pi / 2) = \ exp (-i \ pi / 2) [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] \ sqrt {-i} = \ sqrt {\ exp (-i \ pi / 2)} = \ exp (-i \ pi / 4) [/ matemáticas]

Finalmente,

[matemáticas] \ exp (-i \ pi / 4) = \ cos (- \ pi / 4) + i \ sin (-i \ pi / 4) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} – \ frac {i} {\ sqrt {2}} [/ math]

Adenda

Un lector astuto podría notar que podríamos expandir [math] -i [/ math] usando también otro ángulo:

[matemáticas] -i = 0 + i (-1) = \ cos (3 \ pi / 2) + i \ sin (3 \ pi / 2) = \ exp (3 i \ pi / 2) [/ matemáticas]

lo que llevaría a una respuesta diferente,

[matemáticas] \ sqrt {-i} = \ sqrt {\ exp (3 i \ pi / 2)} = \ exp (3 i \ pi / 4) [/ matemáticas]

Cuando lo convertimos a forma polinómica:

[matemáticas] \ exp (3 i \ pi / 4) = – \ frac {1} {\ sqrt {2}} + \ frac {i} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]

¡tiene un signo diferente de nuestra respuesta anterior!

Aún así, ambas respuestas en realidad son:

[matemáticas] (- \ frac {1} {\ sqrt {2}} + \ frac {i} {\ sqrt {2}}) ^ 2 = \ frac {1} {2} – \ frac {1} {2 } -2 \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot i = -i [/ math]

[matemáticas] (\ frac {1} {\ sqrt {2}} – \ frac {i} {\ sqrt {2}}) ^ 2 = \ frac {1} {2} – \ frac {1} {2} -2 \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot i = -i [/ math]

Lo mismo es cierto para los números reales, ya que [matemática] (- 2) ^ 2 = 4 [/ matemática], como lo es [matemática] 2 ^ 2 = 4 [/ matemática].

Una forma general de seleccionar una sola respuesta sería definirla. Eso se llamaría una raíz principal.

La definición habitual es esta:

Para un número complejo [math] x = r \ exp (i \ phi) [/ math], con [math] – \ pi <\ phi \ leq \ pi [/ math] (*), deje que [math] \ sqrt {x} = \ sqrt {r} \ exp (i \ phi / 2) [/ math].

Como [math] \ exp (i \ phi) = \ exp (i (2 n \ pi + \ phi)) [/ math] para cualquier número entero [math] n [/ math], cualquier número complejo puede escribirse en el forma (*).

Entonces, la respuesta correcta a la pregunta como se indica es, después de todo, esto:

[matemáticas] \ sqrt {-i} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} – \ frac {i} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]

Answer 3

Aquí hay otra solución a su pregunta …

Aclaremos un punto primero:

Escribimos x = ± √9 NO SOLO √9

x = +3 yx = – 3

Entonces √9 es solo +3

Se llama la solución primaria o principal.

¡Ahora esta ecuación también tiene 2 soluciones y √ (- i) es solo una de estas !

Lo resolveré usando el Teorema de De Moivre:

Deje x = rcis (θ)

entonces r = 1 y 2θ = 270 + 360n

θ = 135 + 180n

= 135, 315

La solución PRIMARIA que es la solución con el

ángulo más pequeño (o “argumento”)

---

Alternativamente:

Para encontrar la raíz cuadrada de –i nosotros puede usar directamente el teorema de De Moivre.

Primero exprese 0 – i en forma polar.

El módulo (longitud) = 1

El argumento (ángulo) = 270 grados

Entonces – yo 0 – i = 1cis (270)

Cambiar la raíz cuadrada a la potencia de la mitad:

Answer 4

Deje que la raíz de -i sea a + bi (Tenemos que descubrir qué son a y b)

-i = (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2 – b ^ 2) + (2ab) i

Al comparar los coeficientes de Re (-i) e Im (-i), nos encontramos con 2 ecuaciones simultáneas en a y b:

Re (-i) = 0 = a ^ 2 + b ^ 2

Im (-i) = -1 = 2ab

Ahora todo lo que queda por hacer es resolver a y b simultáneamente y sustituir los valores de a y b en a + bi

Answer 5

-i se puede escribir como i = cos (3π / 2) + isin (3π / 2) = exp (i.3π / 2)

por lo tanto, la raíz cuadrada de -i será exp (i.3π / 4) = cos (3π / 4) + isin (3π / 4) = (1-i) / √2

Answer 6

establecer a, b∈R para hacer (a + bi) ^ 2 = -i

entonces (a ^ 2 – b ^ 2) + 2abi = 0-i

entonces a ^ 2 = b ^ 2 y ab = -1 / 2

1. a = b, entonces a ^ 2 = -1 / 2, a = ± √2 * i / 2 no ∈R.
2. a = -b, entonces a ^ 2 = 1/2, a = ± √2 / 2, b = – + √2 / 2

entonces responde = √2 * / 2-√2 * i / 2 o -√2 * / 2 + √2 * i / 2

Answer 7

-i es el punto (0, -1) en el plano. El ángulo que forma con el eje x positivo es de 270 grados. Su valor absoluto (distancia al origen) es 1.

Para encontrar (una de) las raíces cuadradas de cualquier número complejo, tome la raíz cuadrada del valor absoluto (siempre un real no negativo) y divida su ángulo entre 2. Entonces, la raíz cuadrada de -i tiene un valor absoluto 1 y ángulo de 135 grados. Te dejaré resolver las coordenadas.

La otra raíz cuadrada es la negativa de la primera; es decir, ir directamente a través del origen la misma distancia.