¿Cuál es el número máximo de veces que puedo repetir la acción de poner la salida de log (x) en log (x) para un número real x?

Answer 1

[REDACCIÓN]

Si [math] x \ le 1 [/ math] entonces [math] \ log x \ le 0 [/ math] y solo puede tomar el logaritmo una vez.

De lo contrario, si [math] x \ le e [/ math] entonces [math] \ log x \ le 1 [/ math]. Entonces puede tomar el registro por segunda vez pero no más.

De lo contrario, si [math] x \ le e ^ e [/ math] entonces [math] \ log x \ le e [/ math]. Entonces puede tomar el registro por tercera vez pero no más.

De lo contrario, si [math] x \ le e ^ {e ^ e} [/ math] entonces [math] \ log x \ le e ^ e [/ math]. Entonces puede tomar el registro por cuarta vez pero no más.

El patrón es bastante claro y podemos decir en general que si [math] x \ le ^ {n} e [/ math] entonces [math] \ log x \ le ^ {n-1} e [/ math]. Por lo tanto, puede tomar el registro la mayoría de las [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas] veces. Aquí [math] ^ {n} e [/ math] representa la tetración o la exponenciación iterada.

[matemáticas] \ begin {array} {c | lcr} & \ text {range} & \ text {Max no. de registros} & \ text {Límite superior aproximado} \\ 0 <x \ le 1 & 1 \\ 1 <x \ le e & 2 & 2.7 \\ e <x \ le e ^ e & 3 & 15.1 \\ e ^ e <x \ le e ^ e ^ e & 4 y 3.8 \ times 10 ^ 6 \\ ^ {3} e <x \ le ^ {4} e & 5 & 2 \ times 10 ^ {1656520} \\ ^ {4} e <x \ le ^ {5} e & 6 \\ ^ {n} e <x \ le ^ {n + 1} e & n + 2 \\ \ end {array} [/ math]

[No puedo hacer que la mesa de látex funcione 🙁

Answer 2

A2A, gracias.

La respuesta depende completamente del valor inicial de [math] x [/ math].

Asumiré que estamos hablando del logaritmo natural.

Si [math] x

Si [math] x> e [/ math], entonces se trata de cuán grande es [math] (xe) [/ math].

Para lo que vale, [math] \ ln [/ math] no tiene puntos fijos (es decir, para no [math] x [/ math] tenemos [math] \ ln (x) = x [/ math]).

Answer 3

Definamos los términos: el número que inserte es [matemática] a_1 [/ matemática], luego [matemática] a_n = log (a_ {n-1}) [/ matemática].

Supongamos también que [math] log = log_ {k} [/ math], y que [math] k> 1 [/ math].

Ahora, si [math] a_1 <= 0 [/ math], entonces [math] a_2 [/ math] no es real. [matemática] a_1 <= 1 [/ matemática], [matemática] a_2 [/ matemática] es real, [matemática] a_3 [/ matemática] no lo es.

Podemos hacer que esta cadena sea un elemento más larga haciendo una nueva [matemática] a_ {1_ {nueva}} = k ^ {a_1} [/ matemática]. Entonces, si el número es [matemática]> 10 [/ matemática], tenemos una [matemática] a_4 real [/ matemática]. Si es más que [matemáticas] 10 ^ {10} [/ matemáticas], [matemáticas] a_5 [/ matemáticas] es real. Para que [math] a_6 [/ math] sea real, [math] a_1 [/ math] debe ser mayor que [math] 10 ^ {10 ^ {10}} [/ math] y así sucesivamente.

Answer 4

La función que está buscando se llama “log-star”. Y sí, tiene aplicaciones, particularmente en la teoría de la complejidad algorítmica.