* A2A
[matemáticas] \ begin {align} 100x ^ 2y ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 & = 1 \\ y ^ 2 & = \ dfrac {1-x ^ 2} {100x ^ 2 + 1} \\\ text { Transformando} (- x, y) & = (x, y) \ implica y \ text {simétrico} \\\ text {Transformando} (x, -y) & = (x, y) \ implica x \ text {simétrico } \\\ text {Transformando} (- x, -y) & = (x, y) \ implica \ text {Origen simétrico} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Comenzando, tomaré la raíz cuadrada de ambos lados para producir …
[matemáticas] \ begin {align} y & = \ pm \ sqrt {\ dfrac {1-x ^ 2} {100x ^ 2 + 1}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
- ¿Cómo se hace esto: 2x menos 4 sobre 3x más 6 es igual a 2 sobre 5?
- Una partícula de masa m está inicialmente en reposo en x = 0. Se actúa mediante una fuerza [matemática] F = Acosh (\ beta t) [/ matemática]. Demuestre que para valores pequeños de t, la posición es aproximadamente [matemática] x (t) = \ frac {1} {2} \ frac {F_0} {m} t ^ 2 [/ matemática] donde [matemática] F_0 = F (t = 0) [/ matemáticas]?
- Dado que [math] u (x) = \ int_a ^ bf (x, t) dt [/ math], ¿es posible poner el límite debajo de la integral para que [math] \ lim_ {h \ to 0} \ displaystyle \ int_a ^ b \ frac {f (x + h, t) -f (x, t)} {h} dt = \ displaystyle \ int_a ^ b \ lim_ {h \ to 0} \ left (\ frac {f ( x + h, t) -f (x, t)} {h} \ right) dt [/ math]?
- Si 1 + 4 = 5, 2 + 5 = 12, 3 + 6 = 21, ¿cuál es el valor de 4 + 7? La respuesta no debe ser 32.
- Si, para un AP de a1, a2, a3, entonces a1 + a3 + a5 = -12 y a1a2a3 = 8, ¿cuál será el valor de a2 + a4 + a6?
Ahora, consideremos solo la raíz cuadrada positiva …
[matemáticas] \ begin {align} y & = \ sqrt {\ dfrac {1-x ^ 2} {100x ^ 2 + 1}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Esto se define si
[matemáticas] \ begin {align} 1-x ^ 2 & \ ge0 \\ – 1 \ le x & \ le1 \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Además, dado que [math] f (-x, -y) = f (x, y) [/ math], la función es par, esto trae el factor de simetría: puede verificarlo usted mismo.
Por lo tanto
[matemáticas] \ begin {align} x ^ 2 & = \ dfrac {1-y ^ 2} {100y ^ 2 + 1} \\ x & = \ pm \ sqrt {\ dfrac {1-y ^ 2} {100y ^ 2 +1}} \\ x & = \ sqrt {\ dfrac {1-y ^ 2} {100y ^ 2 + 1}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Nuevamente, considerando el dominio de esta función para la raíz cuadrada positiva. Tenemos [math] -1 \ le y \ le 1 \ tag * {} [/ math]
y dado que la función es simétrica sobre [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática], y encontramos límites para ambas [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática], está delimitado sobre una región [matemática] \ implica [/ matemática] tiene que ser una curva cerrada.
Observe también que [math] (x, y) = (\ pm 1,0) [/ math] y [math] (x, y) = (0, \ pm 1) [/ math] resulta ser el [ matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] intercepta para la función. Esto es fácil de encontrar estableciendo una variable en [matemática] 0 [/ matemática] y resolviendo la otra.
Cambiando al cálculo …
[matemáticas] \ begin {align} F (x, y) & = 100x ^ 2y ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-1 \\ F_x & = 200xy ^ 2 + 2x \ qquad F_y = 200x ^ 2y + 2y \ \ F_ {xx} & = 200y ^ 2 + 2 \ qquad \ quad F_ {yy} = 200x ^ 2 + 2 \\ & \ qquad F_ {xy} = 400xy \\\ hline \ text {Punto (s) crítico (s): } \\ F_x & = F_y = 0 \\ 200xy ^ 2 + 2x & = 200x ^ 2y + 2y \\ 100xy (xy) + (xy) & = 0 \\ (xy) (100xy + 1) & = 0 \\ x & = y, – \ dfrac1 {100y} \\\ hline D & = F_ {xx} F_ {yy} -F_ {xy} ^ 2 \\ & = (200x ^ 2 + 2) (200y ^ 2 + 2) -1600x ^ 2y ^ 2 \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Evitaré usar el discriminante por ahora. Al menos sé que [matemáticas] x = y [/ matemáticas] es un número crítico. Esto también nos dice que el valor crítico ocurre cuando ambas variables son iguales. Casi la misma regla que encontrar el valor óptimo para la mayoría de las funciones simétricas.
Bien, ahora usaré Mathematica para reducir algunos de mis problemas. Tenga en cuenta que no lo estoy usando para trazar la función aunque pueda. Pero quiero encontrar la forma del gráfico por mi cuenta.
Primero resolviendo para [matemáticas] x = y [/ matemáticas]
En: NSolve [x ^ 2 == (1 - x ^ 2) / (100 x ^ 2 + 1)]
Fuera: {{x -> 0. + 0.332414 I}, {x ->
0. - 0.332414 I}, {x -> -0.30083}, {x -> 0.30083}}
Siguiente resolución para [math] x = – \ dfrac1 {100y} [/ math]
En: NSolve [(- 1/100 y) ^ 2 == (1 - y ^ 2) / (100 y ^ 2 + 1)]
Fuera: {{y -> 0. + 10.0499 I}, {y -> 0. - 10.0499 I}, {y -> -0.995037}, {y ->
0.995037}}
Una solución es casi cercana a [math] \ pm 1 [/ math], espero no haber cometido ningún error hasta ahora.
Ahora, en el dibujo, ¿cómo empiezo? Desglosando la función en partes más pequeñas.
Mi loco procedimiento de pensamiento
- Piense [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = 1 \ implica [/ matemáticas] círculo unidad
- [matemáticas] 10xy = 1 \ implica [/ matemáticas] hipérbola
- Cuadra ambos lados para obtener [matemática] 100x ^ 2y ^ 2 = 1 \ implica [/ matemática] la hipérbola aparece en los cuatro cuadrantes ahora (¡Piensa!)
- Pero dado que al cuadrado, piensa [matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas], no tiene bordes afilados como [matemáticas] y = \ dfrac 1x [/ matemáticas]
- En pocas palabras: piense en una partícula, girando sobre su eje y atravesando una trayectoria casi hiperbólica (porque no tendrá bordes afilados y estará simplemente conectada). Esto debería crear pequeñas protuberancias (puntos de inflexión) en los bordes extremos del bucle.
Ahora, Sr. Paintbrush, sé que no es el mejor, pero haré lo mejor que pueda …
- Tenga en cuenta que las esquinas deben redondearse debido a la presencia de [math] 100x ^ 2y ^ 2 [/ math]. Piensa en [matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas]. Esto coincidirá aproximadamente con nuestros cálculos para los valores críticos de la función implícita.
Ahora que hemos terminado de adivinar, podemos verificar con Mathematica …
ContourPlot [100 * x ^ 2 * y ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 == 1, {x, -1, 1}, {y, -1, 1},
Cuadrículas -> {{-1, 0, 1}, {-1, 0, 1}}]
y aquí está el resultado
Parece que fue una buena suposición, según mi trabajo anterior.
[matemáticas] \ begin {align} L & = 4 \ int_0 ^ 1 \ sqrt {1+ \ left (\ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ left [\ sqrt {\ dfrac {1-x ^ 2} {100x ^ 2 + 1}} \ right] \ right) ^ 2} \\ & = 4 \ int_0 ^ 1 \ sqrt {1+ \ left [\ dfrac {-2x (100x ^ 2 + 1) + (x ^ 2-1) (200x)} {(100x ^ 2 + 1) ^ 2} \ cdot \ dfrac12 \ sqrt {\ dfrac {100x ^ 2 + 1} {1-x ^ 2}} \ right] ^ 2} \ \ & = 4 \ int_0 ^ 1 \ sqrt {1+ \ left [\ dfrac {-202x} {(100x ^ 2 + 1) ^ 2} \ cdot \ dfrac12 \ sqrt {\ dfrac {100x ^ 2 + 1} { 1-x ^ 2}} \ right] ^ 2} \\ & = 4 \ int_0 ^ 1 \ sqrt {1+ \ dfrac {(101x) ^ 2} {(100x ^ 2 + 1) ^ 3 (1-x ^ 2)}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Se ve muy mal desde aquí. Y como ya he usado Mathematica, lo usaré aquí para terminar el problema.
f [x_]: = Sqrt [(1 - x ^ 2) / (100 x ^ 2 + 1)];
En: L = 4 * NIntegrate [Sqrt [1 + (f '[x]) ^ 2], {x, 0, 1}]
Fuera: 6.18319
Solo espero que, al menos, haya pensado en el problema correctamente.