Dado que [math] u (x) = \ int_a ^ bf (x, t) dt [/ math], ¿es posible poner el límite debajo de la integral para que [math] \ lim_ {h \ to 0} \ displaystyle \ int_a ^ b \ frac {f (x + h, t) -f (x, t)} {h} dt = \ displaystyle \ int_a ^ b \ lim_ {h \ to 0} \ left (\ frac {f ( x + h, t) -f (x, t)} {h} \ right) dt [/ math]?

Answer 1

Daniel Cantos tiene toda la razón. Las condiciones para las cuales la igualdad es verdadera está en la regla integral de Leibniz – Wikipedia. Pero mi favorito es el Teorema de Fubini (que es equivalente al teorema de convergencia dominado, el teorema de convergencia monótono y el teorema de convergencia de quora).

Haré algunas suposiciones más fuertes que probablemente puedan relajarse. Primero, dejemos que [math] f = f (s, t) [/ math] sea una función continua de valor real en [math] [c, d] \ times [a, b]. [/ Math] Además, asuma continuidad en cada una de las primeras derivadas parciales:

[math] \ frac {\ partial} {\ partial s} f =: f_s [/ math] y [math] \ frac {\ partial} {\ partial t} f =: f_t. [/ math]

Deje [math] x \ in [c, d]. [/ Math] Usando el teorema fundamental del cálculo, sabemos

[matemáticas] f (x, t) = f (c, t) + \ int_c ^ x f_s (s ‘, t) ds’. [/ matemáticas]

Esto implica

[matemáticas] u (x) = \ int_a ^ b \ left (f (c, t) + \ int_c ^ x f_s (s ‘, t) ds’ \ right) dt. [/ math]

Usando la linealidad de la integral y el teorema de Fubini:

[matemáticas] \ int_a ^ bf (c, t) dt + \ int_a ^ b \ int_c ^ x f_s (s ‘, t) ds’ dt = \ int_a ^ bf (c, t) dt + \ int_c ^ x \ int_a ^ b f_s (s ‘, t) dt ds’. [/ math]

Ahora tome la derivada con respecto a la primera variable. Observe que el primer sumando es constante con respecto a [math] x [/ math].

[matemática] u ‘(x) = 0 + \ frac {d} {dx} \ int_c ^ x \ int_a ^ b f_s (s’, t) dt ds ‘. [/ math]

Aplique el teorema fundamental del cálculo nuevamente para obtener

[matemática] u ‘(x) = \ int_a ^ b f_s (x, t) dt. [/ matemática]

Esto es equivalente a la igualdad en su pregunta.

Answer 2

Esto no es cierto en general, necesita algunas condiciones adicionales. Sospecho que está intentando mover una derivada parcial dentro de una integral, es decir, desea

[matemática] \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ int_a ^ bf (x, t) \, \ mathrm {d} t = \ int_a ^ b \ frac {\ partial f} { \ parcial x} \, \ mathrm {d} t [/ math].

Si suponemos que

1. el mapa [math] t \ rightarrow f (x, t) [/ math] para cada [math] x [/ math] es medible
2. la derivada parcial existe y está dominada por alguna función integrable [math] g (t) [/ math], es decir, [math] \ left | \ frac {\ partial f} {\ partial x} (x, t) \ derecho | \ leq g (t) [/ matemáticas]

Entonces esto es verdad. Es una aplicación estándar del Teorema de convergencia dominada por Lebesgue (LDCT), y si conoce algún análisis, es un ejercicio que le sugiero que pruebe por usted mismo.

Aquí hay una pista, tome una secuencia [matemáticas] x_n \ rightarrow x [/ matemáticas] y use el Teorema del valor medio para unir la expresión [matemáticas] \ frac {f (x_n, t) – f (x, t)} {x_n – x} [/ math] por [math] g (t) [/ math]. Luego aplique el LDCT para intercambiar la integral y el límite.

PD: Hay otras formas de intercambiar la integral y el límite, en particular el Teorema de convergencia monótono o el Teorema de convergencia uniforme si tiene buenas funciones. Verifique los criterios para aplicarlos y obtendrá otras condiciones necesarias para intercambiar el límite y la integral.