¿Cuál es el perímetro de un triángulo cuyas medianas son 13, 15 y 12?

Answer 1

DADO: Un triángulo ABC, mediana AP = 12, mediana BQ = 13 y mefian CR = 15 BP = CP = a, AQ = QC = b, AR = RB = c. & proyecciones representadas por x, y & z

PARA ENCONTRAR: perímetro de tri ABC, AB + BC + CA =?

El centroide ‘O’ divide cada mediana en la proporción 2: 1, entonces, AO = 8, OP = 4, BO = 26/3, OQ = 13/3, CO = 10, OR = 5

Teorema utilizado aquí: EXTENSIÓN DEL TEOREMA DE PYTHAGORAS para triángulo obtuso y para triángulo agudo. Para el triángulo obtuso, el teorema establece que en cualquier triángulo obtuso, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros 2 lados junto con el doble del producto de uno de los lados y la proyección del otro lado en eso. Del mismo modo, para el triángulo agudo, el teorema establece que el cuadrado del lado opuesto al ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros 2 lados menos el producto de uno de los otros 2 lados y la proyección del otro lado en él .

Ahora, desde, tri OBC no es un isósceles o equilátero. Entonces, OP no es perpendicular a BC. Por lo tanto, si <OPB es agudo, <OPC será obtuso.

Entonces, en el triángulo obtuso OPC, por el teorema anterior,

10² = 16 + a² + 2ax ……… (1)

En el triángulo agudo OPB,

(26/3) ² = 16 + a² – 2ax ……… .. (2)

eq (1) + eq (2)

obtenemos 100 + 676/9 = 32 + 2a²

=> 900 + 676 = 288 + 18a²

=> 1576–288 = 18a²

= 18a² = 1288

= a² = 1288/18 = 644/9 =

=> a = √ (644/9)

=> a = 25.36 / 3 = 8.45

= 2a = 16.9 ………………. (3)

Del mismo modo, calculamos 2b y 2c

En triángulo obtuso OQC, y en tri OQA agudo

100 = b² + 169/9 + 2bz

64 = b² + 169/9 – 2bz

Al agregar más de 2

164 = 2b² + 338/9

=> 1476 = 18b² + 338

=> 18b² = 1138

=> b² = 1138/18 = 569/9

=> b = 23.8 / 3

=> b = 7.9

=> 2b = 15.8 ………………. (4)

Ahora, en el triángulo obtuso ORA, y en el triángulo agudo ORB

64 = c² + 25 + 2cy

26² / 9 = c² + 25 – 2cy

Al agregar más de 2

64 + 676/9 = 2c² + 50

=> 1252/9 = 2c² +50

=> 1252/9 – 50 = 2c²

=> 802 = 18c²

=> c² = 802/18 = 401/9

=> c = 20.1 / 3 = 6.7

=> 2c = 13.4 ………….… ..… (5)

Al agregar (3) + (4) + (5)

Perímetro = 2a + 2b + 2c

= 16.9 + 15.8 + 13.4 = 46.1

OR, perímetro = 46 (aprox.)

Answer 2

Mi respuesta está en desacuerdo con la respuesta anterior y se puede encontrar en el diagrama adjunto. Se puede usar la siguiente calculadora en línea para determinar las medianas de un triángulo con lados 15.9025, 16.9181 y 13.35 y confirmar la respuesta. Por favor, corríjame si hay algún error en mi cálculo.

Mediana de un triángulo

Answer 3

Las medianas de un triángulo son 13, 15 y 12. ¿Cuál es el perímetro del triángulo?

Las medianas serán: u = 13, v = 15, w = 12.

La suma de las medianas = 2s = 13 + 15 + 12 = 40. Entonces s = 20.

El área del triángulo = Ar = (4/3) [s (su) (sv) (sw)] ^ 0.5

= (4/3) [20 (20–13) (20–15) (20–12)] ^ 0.5

= (4/3) [20 * 7 * 5 * 8] ^ 0.5

= (4/3) * 5600 ^ 0.5

= 99.77753031… (1)

Los lados son los siguientes:

a = (2/3) [2mb ^ 2 + 2mc ^ 2 – ma ^ 2] ^ 0.5 = (2/3) [2 * 15 ^ 2 + 2 * 12 ^ 2 – 13 ^ 2] ^ 0.5

= (2/3) [450 + 288–169] ^ 0.5 = (2/3) [23.85372088] = 15.90248059

b = (2/3) [2mc ^ 2 + 2ma ^ 2 – mb ^ 2] ^ 0.5 = (2/3) [2 * 12 ^ 2 + 2 * 13 ^ 2 – 15 ^ 2] ^ 0.5

= (2/3) [288 + 338–225] ^ 0.5 = (2/3) [20.023498439] = 13.3499896

c = (2/3) [2ma ^ 2 + 2mb ^ 2 – mc ^ 2] ^ 0.5 = (2/3) [2 * 13 ^ 2 + 2 * 15 ^ 2 – 12 ^ 2] ^ 0.5

= (2/3) [338 + 450–144] ^ 0.5 = (2/3) [25.37715508] = 16.91810339

El perímetro es 15.90248059 + 13.3499896 + 16.91810339 = 46.17057358

Verificación: 2s = 46.17057358 o s = 23.08528679

Por la ecuación de Heron, área del triángulo

= [23.08528679 * (23.08528679 – 15.90248059) * (23.08528679 – 13.3499896) * (23.08528679 – 16.91810339)] ^ 0.5

= [23.08528679 * 7.182806199 * 9.73529719 * 6.1671834] ^ 0.5

= 99.77753034… (2)

El área del triángulo es la misma en (1) y (2), por lo tanto, el perímetro del triángulo es 46.17057358