Existe un ABCD cuadrado con el punto P dentro del cuadrado, de modo que AP = 7, BP = 12 y CP = 13. ¿Qué es DP y cuál es el área del cuadrado?

Answer 1

Como puede ver en el diagrama, he dibujado dos líneas desde P perpendicular a los lados del cuadrado. Según el teorema de Pitágoras, tenemos tres ecuaciones:

[matemáticas] [1] \ text {} q ^ 2 + t ^ 2 = 7 ^ 2 = 49 [/ matemáticas]

[matemáticas] [2] \ text {} r ^ 2 + t ^ 2 = 12 ^ 2 = 144 [/ matemáticas]

[matemáticas] [3] \ text {} r ^ 2 + s ^ 2 = 13 ^ 2 = 169 [/ matemáticas]

Ahora [matemática] DP ^ 2 = q ^ 2 + s ^ 2. [/ matemática] Podemos encontrar este valor sumando [matemática] [1] [/ matemática] y [matemática] [3] [/ matemática] y restando [matemáticas] [2] [/ matemáticas] [matemáticas]: [/ matemáticas]

[matemáticas] q ^ 2 + s ^ 2 = (q ^ 2 + t ^ 2) + (r ^ 2 + s ^ 2) – (r ^ 2 + t ^ 2) = 49 + 169 – 144 [/ matemáticas]

[matemáticas] q ^ 2 + s ^ 2 = 74 \ text {} [4] [/ matemáticas]

[matemáticas] DP = \ sqrt {74} [/ matemáticas]

A continuación, busquemos la longitud lateral del cuadrado.

Reste [math] [1] [/ math] de [math] [2] [/ math] para obtener: [math] r ^ 2 – q ^ 2 = 95 \ text {} [5] [/ math]

Como [math] ABCD [/ math] es un cuadrado, entonces también tenemos [math] q + r = s + t \ text {} [6] [/ math]

De esta ecuación, obtenemos:

[matemáticas] qs = tr [/ matemáticas]

Cuadrado a ambos lados:

[matemáticas] q ^ 2 + s ^ 2 – 2qs = t ^ 2 + r ^ 2 – 2tr [/ matemáticas]

Ahora sustituya las ecuaciones [matemáticas] [2] [/ matemáticas] y [matemáticas] [4] [/ matemáticas]:

[matemáticas] 74 – 2qs = 144 – 2tr [/ matemáticas]

[matemáticas] t = \ dfrac {35 + qs} {r} \ text {} [7] [/ matemáticas]

De manera similar, nuevamente de la ecuación [matemáticas] [6]: [/ matemáticas]

[matemáticas] rs = tq [/ matemáticas]

[matemáticas] r ^ 2 + s ^ 2 – 2rs = t ^ 2 + q ^ 2 – 2tq [/ matemáticas]

[matemáticas] 169 – 2rs = 49 – 2tq [/ matemáticas]

[matemáticas] t = \ dfrac {rs – 60} {q} \ text {} [8] [/ matemáticas]

Ahora combinemos [matemáticas] [7] [/ matemáticas] y [matemáticas] [8] [/ matemáticas]:

[matemáticas] t = \ dfrac {35 + qs} {r} = \ dfrac {rs – 60} {q} [/ matemáticas]

[matemáticas] 35q + q ^ 2 s = r ^ 2 s – 60r [/ matemáticas]

[matemáticas] 35q + 60r = s (r ^ 2 – q ^ 2) [/ matemáticas]

Sustituya la ecuación [matemáticas] [5] [/ matemáticas]:

[matemáticas] 35q + 60r = 95s [/ matemáticas]

[matemáticas] s = \ dfrac {7q + 12r} {19} [/ matemáticas]

Sustituya esta ecuación en [matemáticas] [3] [/ matemáticas]:

[matemáticas] r ^ 2 + \ izquierda (\ dfrac {7q + 12r} {19} \ derecha) ^ 2 = 169 [/ matemáticas]

[matemáticas] 361r ^ 2 + 49q ^ 2 + 144r ^ 2 + 168qr = 169 * 361 [/ matemáticas]

[matemáticas] 168qr = 61009 – 505 (95 + q ^ 2) – 49q ^ 2 = 13034 – 554q ^ 2 [/ matemáticas]

Cuadrado a ambos lados:

[matemáticas] 28224q ^ 2 r ^ 2 = 13034 ^ 2 – 2 * 554 * 13034q ^ 2 + 554 ^ 2 q ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 28224q ^ 2 (95 + q ^ 2) = 169885156 – 14441672 q ^ 2 + 306916 q ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = 278692q ^ 4 – 17122952q ^ 2 + 169885156 [/ matemáticas]

Afortunadamente, esta ecuación se factoriza como [matemática] 1444 (193q ^ 2 – 2401) (q ^ 2 – 49) [/ matemática]. Por lo tanto, [matemática] q = 7 [/ matemática] o [matemática] q = \ dfrac {49} {\ sqrt {193}} [/ matemática]

Sin embargo, si [matemáticas] q = 7 [/ matemáticas], entonces por [matemáticas] [1], [2], [3] [/ matemáticas] tendríamos [matemáticas] r = 12, s = 5, t = 0 [/ matemáticas]. Estas dimensiones no nos dan un cuadrado, por lo que [math] q [/ math] no puede ser 7.

Por lo tanto, [math] q = \ dfrac {49} {\ sqrt {193}} [/ math]. Por lo tanto, [matemática] r = \ dfrac {144} {\ sqrt {193}}, s = \ dfrac {109} {\ sqrt {193}}, t = \ dfrac {84} {\ sqrt {193}} [/ matemáticas].

Por lo tanto, la longitud del lado del cuadrado es [matemática] q + r = s + t = \ sqrt {193} [/ matemática]. Por lo tanto, el área del cuadrado es [math] \ boxed {193} [/ math].

Answer 2

Si te refieres a ABCD por punto, entonces la siguiente es otra solución con las respuestas correctas. …

Parte A. El área de ABCD.

En la línea AP, construya un Perpendicular en P hacia el punto B. Es uno y el mismo que la línea PB.

Ergo Triangle APB es un triángulo rectángulo, y el ángulo APB es 90 Degress.
Por lo tanto AB ^ 2 = AP ^ 2 + PB ^ 2.

Ahora se nos da AP = 7 y BP = 12; entonces AB ^ 2 = 49 + 144 = 193

Área de conclusión de ABCD, o AB ^ 2 = 193 unidades cuadradas.

PARTE B. La longitud de la línea PD.

Los lados de ABCD, AD = AB (Construcción), por lo tanto, según la ley de coseno del triángulo de escala [‘cos c = a ^ 2 + b ^ 2 -c ^ 2) / 2 * a * b’]

Cos ángulo Ergo Angle

Ahora, según la Ley del Coseno del Triángulo de Scalene … cos PAD = (49 + 193 – PD ^ 2) / 2 * 7 * (193 ^ 1/2) …. que se reduce a (242 – PD ^ 2) / 194.4942159 … que es igual a … … 0.8637789009 … o cos de 30.256 etc. …

Entonces 194.49 … veces 0,86…. sale como 168 así que ahora tenemos …

242 – PD ^ 2 = 168 … malabares que es 242 – 168 = PD ^ 2 … simplificando … que es igual a 74 = PD ^ 2 … Ergo

(7) PD = 74 ^ ​​1/2 u 8.602325267.

RESPONDER

Área = 193 unidades cuadradas; PD = 8.602325267 Unidades

QUOD ERAT FACIENDUM .

Espero que eso te funcione

Answer 3

Ya hay buenas respuestas aquí. Solo me gustaría dar un enfoque trigonométrico (ligeramente) para encontrar el área (para encontrar [matemáticas] DP [/ matemáticas], mi enfoque es el mismo con las otras respuestas, así que no tengo nada que agregar).

Teniendo en cuenta el triángulo [matemáticas] ABP [/ matemáticas] en el diagrama anterior, tenemos de la ley del coseno,

[matemáticas] \ large {\ cos \ theta = \ frac {s ^ 2 + 12 ^ 2-7 ^ 2} {2 (12) (s)} = \ frac {s ^ 2 + 95} {24s}} [ /matemáticas]

Al cuadrar ambos lados

[matemática] \ grande {\ cos ^ 2 \ theta = \ frac {s ^ 4 + 190s ^ 2 + 9025} {576s ^ 2}} \ tag 1 [/ matemática]

Del mismo modo, considerando [matemáticas] CBP [/ matemáticas],

[matemática] \ grande {\ cos ^ 2 (90 ° – \ theta) = \ frac {s ^ 4-50s ^ 2 + 625} {576s ^ 2}} [/ matemática]

Desde [math] \ cos (90 ° – \ theta) = \ sin \ theta [/ math]

tenemos

[matemáticas] \ large {\ sin ^ 2 \ theta = \ frac {s ^ 4-50s ^ 2 + 625} {576s ^ 2}} \ tag 2 [/ matemáticas]

Sumando [math] (1) [/ math] y [math] (2) [/ math] se deduce de la identidad trigonométrica [math] \ cos ^ 2 \ theta + \ sin ^ 2 \ theta = 1 [/ math] que

[matemática] \ grande {\ frac {s ^ 4 + 190s ^ 2 + 9025} {576s ^ 2} + \ frac {s ^ 4-50s ^ 2 + 625} {576s ^ 2} = 1} [/ matemática]

[matemáticas] \ implica s ^ 4-218s ^ 2 + 4825 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ implica (s ^ 2-193) (s ^ 2-25) = 0 [/ matemática]

Si [math] s ^ 2-25 = 0, [/ math] entonces [math] s = 5 [/ math] en cuyo caso es imposible que [math] P [/ math] esté dentro del cuadrado (tenga en cuenta que ángulo [matemática] PAB [/ matemática] sería obtuso cuando [matemática] s = 5 [/ matemática]).

Entonces [matemáticas] s ^ 2 = 193 [/ matemáticas] es el área del cuadrado.

Answer 4

Para cualquier paralelogramo ABCD, [matemática] AP ^ 2 + PC ^ 2 = BP ^ 2 + DP ^ 2 [/ matemática] entonces [matemática] DP ^ 2 = 74. [/ Matemática]