Cómo encontrar la apotema de un polígono regular

Answer 1

La apotema de un polígono regular es la distancia perpendicular desde el centro, [math] \ mathrm C [/ math], hasta el punto medio, [math] \ mathrm M [/ math], de un lado. Considere el triángulo rectángulo [math] \ triangle \ mathrm {CMV} [/ math] formado por el segmento de línea [math] \ overline {\ mathrm {CM}} [/ math] desde el centro del círculo hasta el punto medio de uno lado del polígono, la mitad de ese lado [math] \ overline {\ mathrm {MV}} [/ math], donde [math] \ mathrm {V} [/ math] es un vértice del polígono y un radio, [math] \ overline {\ mathrm {CV}} [/ math], del círculo circunscrito.

En su caso, dado que el perímetro del polígono es [matemático] 96 [/ matemático] y tiene [matemático] 8 [/ matemático] lados, cada lado mide [matemático] \ dfrac {96} {8} [/ matemático ] o [matemáticas] 12 [/ matemáticas]. Entonces, la mitad de este lado, que forma la pierna [math] \ overline {\ mathrm {MV}} [/ math] del triángulo rectángulo es [math] 6 [/ math]. El ángulo [math] \ angle \ mathrm {MCV} [/ math] es la mitad del ángulo subtendido por un lado, o [math] \ dfrac {1} {16} [/ math] de un círculo completo, entonces es [math ] 22.5 [/ matemáticas] grados. El cotan de [matemáticas] 22.5 [/ matemáticas] grados (el lado adyacente sobre el lado opuesto) es [matemáticas] 1+ \ sqrt {2} [/ matemáticas], o aproximadamente [matemáticas] 2.4142 [/ matemáticas], entonces el apotema es [matemáticas] 6 * (1+ \ sqrt {2}) [/ matemáticas], o aproximadamente [matemáticas] 14.4853 [/ matemáticas].

Aquí hay una referencia que puede resultarle útil: la apotema de un polígono

Answer 2

Esto es lo que intenta encontrar, marcado con la letra a :

Cada lado del octágono, es 96/8 = 12 unidades, como usted dice.

La mitad de un lado son 6 unidades.

Entonces, tienes un triángulo formado por el lado naranja (a), medio lado amarillo (s) y una línea punteada. Como la línea amarilla en el triángulo es la mitad del lado del octágono s = 12/2 = 6

El ángulo en el centro del octágono es la mitad del ángulo central de 45 grados, es decir, 22.5 grados.

La tangente de este ángulo es el lado amarillo dividido por el lado naranja:

Entonces, tangente (22.5 grados) = s / a

La tangente de 22.5 grados en la calculadora es: 0,4142

Entonces:

0,4142 = s / a

Esto significa que:

a = s / 0,4142

Pero s es 6, entonces:

a = 6 / 0.4142

a = 14.49 unidades