El teorema de Apolonio es un caso especial del teorema de Stewart,
El teorema de Appolonius relaciona la longitud de la mediana con los lados.
[matemáticas] {\ color {verde} b} ^ 2 + {\ color {amarillo} c} ^ 2 = \ dfrac {{\ color {rojo} a} ^ 2} {2} +2 {\ color {azul} d} ^ 2 [/ matemáticas]
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PRUEBA:
Utilice el teorema de Pitágoras varias veces.
- [matemáticas] x ^ 2 + h ^ 2 = d ^ 2 [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ left (\ dfrac {a} {2} -x \ right) ^ 2 + h ^ 2 = b ^ 2 [/ math]
- [matemáticas] \ izquierda (\ dfrac {a} {2} + x \ derecha) ^ 2 + h ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas]
Agregar ecuaciones (2) y (3)
[matemáticas] \ left (\ dfrac {a} {2} -x \ right) ^ 2 + h ^ 2 + \ left (\ dfrac {a} {2} + x \ right) ^ 2 + h ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {a ^ 2} {2} + 2x ^ 2 + 2h ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {a ^ 2} {2} +2 (x ^ 2 + h ^ 2) = b ^ 2 + c ^ 2 [/ matemáticas]
Ahora la ecuación (1) es útil
[matemáticas] \ dfrac {a ^ 2} {2} + 2d ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 [/ matemáticas]
[matemática] \ en caja {b ^ 2 + c ^ 2 = \ dfrac {a ^ 2} {2} + 2d ^ 2} [/ matemática]
¡Espero eso ayude!