La terminología “underroot” es rara, y generalmente denota índices más altos de raíz, pero no especifique un índice aquí: asumiré que la pregunta significa underroot 2, también conocida como raíz cuadrada.
Deje que [matemáticas] T = \ displaystyle \ int \ frac {\ sqrt {\ tan {x}}} {\ sin {x} \ cos {x}} \, \ mathrm dx = \ int \ frac {1} {\ cos {x}} \, \ frac {1} {\ sin {x}} \, \ sqrt {\ tan {x}} \, \ mathrm dx [/ math]
Recuerde que [math] \ dfrac {1} {\ cos {\ theta}} \ equiv \ sec {\ theta} [/ math], y [math] \ dfrac {\ sin {\ theta}} {\ cos {\ theta}} \ equiv \ tan {\ theta} \ [/ math] [matemáticas] \ por lo tanto \ dfrac {1} {\ sin {\ theta}} \ equiv \ dfrac {1} {\ cos {\ theta} \ tan {\ theta}} \ equiv \ dfrac {\ sec {\ theta}} {\ tan {\ theta}} [/ math].
[matemáticas] \ por lo tanto T = \ displaystyle \ int \ sec {x} \, \ frac {\ sec {x}} {\ tan {x}} \, \ sqrt {\ tan {x}} \, \ mathrm dx = \ int \ frac {\ sec ^ 2 {x}} {\ sqrt {\ tan {x}}} \, \ mathrm dx [/ math]
- Cómo calcular el límite [matemáticas] \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ int_0 ^ 2 \ frac {nx ^ {\ frac {n} {2}}} {(1 + x ^ n)} dx [ /matemáticas]
- ¿Cuál es la expansión de a + b whole raise 1/2?
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Deje [math] u = \ tan {x} \ \ por lo tanto \ mathrm du = \ sec ^ 2 {x} \, \ mathrm dx [/ math].
[matemáticas] \ por lo tanto T = \ displaystyle \ int \ frac {1} {\ sqrt {u}} \, \ mathrm du = 2 \ sqrt {u} = \ boxed {2 \ sqrt {\ tan {x}} + C} [/ matemáticas]
Anexo: para mostrar que [math] \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ tan {x} = \ sec ^ 2 {x} [/ math]
Recuerde que [math] \ cos ^ 2 {\ theta} + \ sin ^ 2 {\ theta} \ equiv 1 [/ math].
[matemáticas] \ begin {align} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ tan {x} & = \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ left (\ frac {\ sin {x} } {\ cos {x}} \ right) \\ & = \ frac {\ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ left (\ sin {x} \ right) \ cdot \ cos {x} – \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ left (\ cos {x} \ right) \ cdot \ sin {x}} {\ cos ^ 2 {x}} \\ & = \ frac {\ cos {x } \ cdot \ cos {x} – \ left (- \ sin {x} \ right) \ cdot \ sin {x}} {\ cos ^ 2 {x}} \\ & = \ frac {\ cos ^ 2 { x} + \ sin ^ 2 {x}} {\ cos ^ 2 {x}} \\ & = \ frac {1} {\ cos ^ 2 {x}} = \ sec ^ 2 {x} \ \ \ text {QED} \ end {align} [/ math]
Letra pequeña: • cuando uso [math] \ log [/ math] esto denota un logaritmo natural (base [math] e [/ math] ); si se pretende cualquier otra base, se mostrará como un subíndice • Generalmente omito las constantes de integración de integrales indefinidas hasta que muestre un resultado final o intermedio •