¿Qué es [matemáticas] x [/ matemáticas] si [matemáticas] e ^ {\ frac {x} {1 + x}} = 1 + x [/ matemáticas]?

Answer 1

A nadie le gustan las sustituciones no obvias, pero voy a hacer una aquí. Estar atento.

[matemáticas] u = \ frac {-1} {1 + x} [/ matemáticas]

Lo que reduce la ecuación a una forma más accesible. No entraré en detalles.

[matemáticas] ue ^ u = \ frac {-1} {e} [/ matemáticas]

Y puede usar Newton-Raphson, la función Lambert W, o una suposición sólida para descubrir que [matemática] u = -1 [/ matemática] es una solución, dando [matemática] x = 0 [/ matemática]. Curiosamente, esto está justo en el borde del dominio de la función Lambert W. Si ese lado derecho fuera menor que [matemáticas] -1 / e [/ matemáticas], no habría solución. Cualquier mayor, y seguramente tendremos una solución (o tal vez 2). Entonces eso es divertido.

Mención honorífica al hecho de que a medida que [math] x [/ math] se acerca a [math] -1 [/ math] desde la derecha, la ecuación se acerca a otra solución.

Answer 2

Solución: x = 0

Prueba 1:

e ^ (x / 1 + x) = 1 + x ………………………………………………… .. (1)

Diferenciando con respecto a x,

e ^ (x / 1 + x). d / dx (x / 1 + x) = d / dx (1 + x)

Sustituyendo 1 + x por e ^ (x / 1 + x) de (1),

(1 + x) [(1 + x) .d / dx (x) – xd / dx (1 + x)] / (1 + x) ^ 2 = 1

Cancelando 1 + x del numerador y denominador y simplificando,

[(1 + x) .1 – x.1] / (1 + x) = 1

O, (1 + x – x) / (1 + x) = 1

O, 1 / (1 + x) = 1

Tomando reciproco en ambos lados,

1 + x = 1

O, x = 0 (probado)

Prueba 2:

Eleve ambos lados de (1) a 1 + x / x

(e ^ x / (1 + x)) ^ (1 + x / x) = (1+ x) ^ (1 + x) / x

Sabemos (a ^ m) ^ n = a ^ mn. Por lo tanto,

e = (1 + x) ^ [(1 / x) + 1]

Como a ^ (m + n) = a ^ ma ^ n

e = (1 + x) ^ 1 / x. (1 + x) ^ 1

Ahora (1 + x) ^ 1 / x = e. Esto nos lleva a

e = e. (1 + x)

Cancelando e desde ambos lados,

1 = 1+ x

O, 1+ x = 1

O, x = 1–1 = 0 (probado)

Answer 3

Si x es positivo LHS <1

más si x es negativo LHS> 1> RHS

De lo contrario, x debería ser cero.

Ponga x = 0. Entonces RHS = LHS.

Así x = 0 es la única solución