Marcaré los pasos para la solución:
Deje [math] f (x) = \ frac {nx ^ {\ frac {n} {2}}} {1 + x ^ n} [/ math]
- Demuestre que [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ displaystyle \ int_0 ^ {1- \ frac {1} {\ sqrt {n}}} f (x) dx = 0 [/ math]
- Demuestre que [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_ {1+ \ frac {1} {\ sqrt {n}}} ^ 2 f (x) dx = 0 [/ math]
- Demuestre que [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_ {1- \ frac {1} {\ sqrt {n}}} ^ {1+ \ frac {1} {\ sqrt {n}} } f (x) dx = \ lim_ {n \ to \ infty} \ int _ {- \ sqrt {n}} ^ \ sqrt {n} \ frac {(1+ \ frac {u} {n}) ^ {\ frac {n} {2}} du} {1+ (1+ \ frac {u} {n}) ^ n} = \ pi [/ math]
PD:
Para 1.: Sugerencia: [matemáticas] 0 \ leq f (x) \ leq \ frac {n} {2} x ^ \ frac {n} {2}, x \ in [0; 1] [/ matemáticas]
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- ¿Qué es [matemáticas] x [/ matemáticas] si [matemáticas] e ^ {\ frac {x} {1 + x}} = 1 + x [/ matemáticas]?
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- Cómo resolver [math] \ displaystyle \ int \ frac {\ sin ^ 2x} {\ cos ^ 2x} \, dx [/ math]
Para 2.: Sugerencia: [matemáticas] 0 \ leq f (x) \ leq \ frac {n} {2} x ^ {- \ frac {n} {2}}, x \ in [1; 2] [/ matemáticas]
Para 3 .: recuerde que [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} (1+ \ frac {u} {n}) ^ n = e ^ {u} [/ matemáticas]
PPS: Espero que pueda hacer los pasos que faltan usted mismo, de lo contrario, no dude en pedir ayuda. Agregaré los pasos faltantes a la respuesta.
PPPS: El propósito de las partes 1 y 2 es hacerte u suficientemente más pequeño que n.
