Para encontrar la expansión de la expresión (a + b) ^ 1/2, tenemos que usar el teorema binomial que es verdadero para el índice, que puede ser cualquier cantidad racional, número entero o fracción.
Llamemos por E la expresión dada y escríbala en la forma,
E = (a + b) ^ 1/2 = {a (1+ b / a)} ^ 1/2 = a ^ (1/2) (1 + z) ^ 1/2
donde z = b / a
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Ahora la expansión binomial de (1 + z) ^ n para el valor absoluto de z menor que 1 (b menor que a) es
= 1 + nz + [n (n-1) /1.2]. z ^ 2 + [n (n-1) (n-2) /1.2.3] .z ^ 3 + ……………………… ..
donde n es cualquier cantidad racional. En nuestro caso, n = 1/2 y
Por lo tanto,
E = a ^ 1/2 {1+ (1/2) .z + [(1/2) (1/2 -1) /1.2] .z ^ 2 + [(1/2) (1 / 2– 1) (1 / 2–2) /1.2.3] .z ^ 3 + ……………… ,,,,,,,,,}
= a ^ 1/2 {1 + (1/2) .z + [(1/2) (- 1/2) / 2] .z ^ 2 + [(1/2) (- 1/2) ( -3/2) / 6] .z ^ 3 + ………………… ..}
= a ^ 1/2 {1 + (1/2) .z – (1/8) .z ^ 2 + [(-1/4) (- 3/2) / 6] z ^ 3 + ……… …………………………….}
= a ^ 1/2 {1 + (1/2) .z – (1/8) .z ^ 2 + [(3/8) /2.3] .z ^ 3 + ……………….}
= a ^ 1/2 [1 + (1/2) .z – (1/8) .z ^ 2 + (1/16) .z ^ 3 – ……………….]
Tenga en cuenta que la serie anterior es infinita ya que ninguno de sus factores en el numerador puede convertirse en cero.
Sustituyendo el valor de z = b / a,
Expansión de (a + b) ^ 1/2
= a ^ 1/2 [1 + (b / 2a) – (b ^ 2 / 8a ^ 2) + (b ^ 3 / 16a ^ 3) – …………… ..] (Respuesta)