¿Cómo resolvería [matemáticas] 2 ^ {4x-15} + 3 ^ {x-1} = 46 ^ {7 + 9x} [/ matemáticas]?

Answer 1

Considere la función [matemáticas] f (x) = 46 ^ {7 + 9x} -2 ^ {4x-15} -3 ^ {x-1}. [/ Matemáticas]

Queremos el valor de x para el cual [math] f (x) = 0. [/ Math]

Se puede ver que a excepción de los valores negativos de [matemáticas] x, [/ matemáticas] el término [matemáticas] 46 ^ {7 + 9x} [/ matemáticas] domina.

[matemáticas] f (0) = 46 ^ {7} -2 ^ {- 15} -3 ^ {- 1}> 0. [/ matemáticas]

[matemáticas] f (-1) = 46 ^ {- 2} -2 ^ {- 19} -3 ^ {- 2} <0. [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] La función tiene una raíz en el intervalo [math] (- 1,0). [/ math]

Para [matemática] x <-1, [/ matemática] la función es negativa y asintóticamente va a [matemática] 0 [/ matemática].

Para [matemática] x> 0, [/ matemática] la función aumenta rápidamente.

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] Solo hay una raíz, como se indicó anteriormente.

Como no existe un método analítico para encontrar la raíz, la encontraremos numéricamente utilizando el método Newton Raphson, como se muestra a continuación:

[matemáticas] f (x) = 46 ^ {7 + 9x} -2 ^ {4x-15} -3 ^ {x-1}. [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad f ‘(x) = 9 \ log 46 \ left (46 ^ {7 + 9x} \ right) -4 \ log 2 \ left (2 ^ {4x-15} \ right) – \ log 3 \ left (3 ^ {x-1} \ right). [/ math]

Deje que la primera estimación de x sea [matemática] x_1. [/ Matemática]

Entonces, la segunda y mejor estimación sería [matemáticas] x_2 = x_1 – \ frac {f (x_1)} {f ‘(x_1)} [/ matemáticas].

La tercera y mejor estimación sería [matemáticas] x_3 = x_2 – \ frac {f (x_2)} {f ‘(x_2)}. [/ Matemáticas]

Continuamos de esta manera hasta que la diferencia entre dos estimaciones sucesivas sea menor que el error tolerable.

Para este caso particular, tomando la primera estimación [matemática] x_1 = – 0.9, [/ matemática] los detalles de las iteraciones son los siguientes:

Entonces, obtenemos la solución como [math] x = -0.836324393. [/ Math]

Answer 2

2 ^ (4x-15) + 3 ^ (x-1) = 46 ^ (7 + 9x)

Tomando ln en ambos lados de LHS y RHS tenemos

=> (4x-15) * ln2 + (x-1) * ln3 = (7 + 9x) * ln46

=> (4x-15) * 0.7 + (x-1) * 1 = (7 + 9x) * 3.8

=> x (4 * 0.7) – 10.5 + x – 1 = 26.6 + (34.2) x

=> (2.8 + 1 -34.2) * x = 26.6 + 10.5 +1

=> -30.4 (x) = 38.1

=> x = -38.1 / 30.4 ~ = -1.25

Answer 3

La solución es escribir todos los términos como potencias de la misma base. Eso es bastante fácil de hacer usando logaritmos. Por ejemplo:

Si desea una solución numérica, y una manera fácil de obtenerla es trazar el lado izquierdo y el lado derecho como ecuaciones separadas en una TI-84, y resolver la intersección de las dos curvas.